李群上的最速下降算法研究了在李群结构上定义的最优化问题，通过设计一种内在的迭代算法，用以实现保结构的最速下降。该算法不仅能够找到局部最优解，还具有良好的收敛性质，至少能保证线性收敛。在具体应用方面，该方法被应用于工件定位问题，并在欧氏群上转化为最小二乘问题，从而得到快速且鲁棒的求解方案，实验验证了算法的有效性。
在运筹学领域，最速下降算法（Steepest Descent Method）是一种迭代求解极小化问题的数值方法。它通过向目标函数的负梯度方向（即最速下降方向）寻找下一个迭代点，以期尽快降低目标函数值。当此算法被应用于李群（Lie Groups）时，其主要挑战在于李群是一个具有丰富结构的非线性几何空间，普通的最速下降算法可能无法保证在李群结构上的合理性。为了克服这一挑战，研究者们提出了内在的迭代算法，确保算法的迭代步骤在李群结构内合理进行。
李群是由连续可微的对称群组成的，它们在机器人学、信号处理等多个领域有广泛的应用。例如，W.C.Rheinboldt将经典优化方法从欧几里得空间推广到流形上；D.G.Luenberger提出了沿着测地线方向的特殊梯度投影方法；R.E.Mahony发现了李群上的牛顿方法，并将其应用于对称特征值问题；B.Owreng则提出了李群上的牛顿迭代方法；D.Gabay研究了李群上的变分问题和最优化算法。上述这些工作都为在李群上进行优化提供了理论基础和应用实例。
秦汉与应时辉在他们的研究中定义了一个通用的最速下降方向，并据此提出了针对李群优化问题的内在迭代算法。除此之外，他们通过两个全局收敛定理进一步分析了算法的收敛性，这些定理表明所设计的算法至少具有线性收敛速度。在具体实践中，该算法被用于求解工件定位问题。定位问题在机械加工中非常重要，它涉及确定工件在加工过程中的精确位置，以提高加工精度和效率。通常，工件定位问题可以通过将问题转化为欧氏群上的最小二乘问题来解决。通过将最速下降算法应用于这一转化问题，可以实现快速且稳健的求解。
关键词中提到的“结构保持”是指在优化过程中，算法需保证在李群上操作的合理性，不破坏李群原有的结构。例如，在李群上进行参数调整时，结果应仍在该李群上。这是李群最优化问题的一个重要特点，也是最速下降算法在李群上应用的核心要求之一。而“收敛性分析”则是用来评估算法在迭代过程中向最优解逼近的速率和稳定性，通过定理可以为算法的性能提供理论上的保证。
在秦汉与应时辉的研究工作中，他们不仅提出了算法，还进行了实验验证。他们在引言部分回顾了优化方法在流形上，特别是在机器人学和信号处理领域的应用历史，并指出这些领域工作的重要性。此外，他们还给出了基金项目信息以及作者和通讯作者简介，这为研究的背景和研究者的专业性提供了保障。
李群上的最速下降算法是针对具有特定结构的优化问题设计的，它在保证算法效率的同时，也能够在复杂的几何空间中保持结构特性，这对于需要在李群上进行高效且精确计算的领域来说具有重要意义。定位问题作为该算法的一个应用实例，展示了算法解决实际问题的潜力，同时也证明了其在工程应用中的有效性。
