算子代数是数学中泛函分析的一个分支，涉及与算子相关的代数结构，特别是算子的集合在某些运算下形成的代数。Hermitian双线性泛函是函数空间中一类重要的泛函，这类泛函具有共轭对称性，即对于任意的函数φ和伊，在复数域上满足B(φ,伊)=B(伊,φ)*，其中星号*表示复共轭。在紧支集无穷次可微函数空间或急速下降无穷次可微函数空间上，对算子代数中的Hermitian双线性泛函进行表示，可以为研究算子代数上的广义函数提供新的工具和视角。
研究的核心是推广Schwartz广义函数理论，使其适用于算子代数上的情况。Schwartz广义函数理论是函数论的一个重要分支，它在微分方程理论中发挥了重要作用，为解决微分方程提供了强有力的工具。随着非交换分析的发展，人们开始探索算子代数的广义函数理论，并期望它能够为C*-代数中的微分方程提供类似的工具。Matsumoto的工作是将Schwartz的理论推广到具有群作用的算子代数的广义函数，并应用于解抽象微分方程。
在广义函数的研究中，正定函数扮演着关键角色，它们为广义随机过程的建模提供了有力的工具。平移不变的正定Hermitian双线性泛函在广义函数理论中占有特殊的地位，因此研究其理论并开发新的表示方法是至关重要的。本文的动机正是为了发展算子代数上的平移不变正定Hermitian双线性泛函理论。
Kernel定理是泛函分析中的一个重要结果，它提供了双线性泛函的一个明确表示。在数学中，Kernel定理说明了如果一个双线性泛函在某个函数空间上连续，那么它可以通过一个线性连续泛函和函数空间中的函数的乘积来表示。许瓦兹已经证明了这个定理适用于具有紧支集的无穷次可微函数空间。本文将这一结果推广到了取值在C*-代数上的Hermitian双线性泛函的情形。
通过引入引理和定义，本文通过一系列数学推导来证明Hermitian双线性泛函可以表示为某种积分形式，这为构造算子代数上的Hermitian双线性泛函提供了理论基础。数学中的范数和内积是构建泛函理论框架的关键概念，它们在这里用于衡量函数空间中的函数以及定义双线性泛函的性质。
此外，文章还使用了Hilbert空间中的正交基的概念。在Hilbert空间中，正交基是一组函数，它们之间的内积为零，并且每个元素都可以用这组基函数通过内积运算来唯一表示。通过选择适当的正交基，可以将复杂的泛函表示为级数的形式，并通过研究级数的收敛性来深入理解泛函的性质。
最终，文章通过构造核函数来表示Hermitian双线性泛函，这种核函数依赖于两个变量，并且是在Hilbert空间中定义的。通过傅里叶变换和相关数学工具，构造过程得到了核函数，并被证明可以用来表示广义函数上的平移不变正定Hermitian双线性泛函。这为研究算子代数上的广义函数提供了新的理论基础，对于推动算子代数和非交换分析的发展具有潜在的学术价值。
