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收稿日期:2002-03-20;修改稿收到日期:2 00 2-07-03.
基金项目:国家自然科学基金(重点项目 50139010,基金项
目 10172023)资助项目 .
作者简介:胡志强 (1972-),男, 博 士 ;
林 皋
*
(1929-),男,博士生导师,中国科学院院士
.
第20卷第6期
2003 年 12 月
计算力学学报
Chinese Jour nal of Computational M echanics
Vol
.20,
No
.6
December
2003
文章编号:1007-4708(2003)06-0684-07
弹塑性接触问题的非光滑非线性方程组方法
胡志强
1
, 陈健云
1
, 陈万吉
2
, 林 皋
*1
, 李学文
3
(1.大连理工大学 土木水利学院 工程抗震研究所, 辽宁 大连 116024;2.大连理工大学 工程力学系,辽宁 大连 116024;
3.北京理工大学 数学系, 北京 100081)
摘 要:将求解三维弹性摩擦接触问题的非光滑非线性方程组方法推广到弹塑性(M ises 材料)情形,提出了两
种应用方法:一种是将非光滑非线性方程组方法和求解弹塑性问题常用的
Newton
-
Raphson
迭代方法结合起
来;另一种是将问题写成统一的非光滑非线性方程组,直接求解。数值算例验证了两种方法的有效性,并进行了
结果比较。
关键词:三维静力弹塑性摩擦接触,非光滑非线性方程组方法,N ew ton-R aphson 迭代方法
中图分类号:
O
313.4 文献标识码:
A
1 引 言
在小变形、小应变假设下,三维静力弹塑性摩
擦 接 触 问 题 ( 3 D -S ta tic E la sto -P la s tic F ric tio n a l
Contact Problem ,简记为 3D-SEPFCP)的求解方
法主要有两类。一类方法是“试验-误差”型迭代法,
用拉格朗日乘子法、罚函数法或增广拉格朗日乘子
法将接触约束条件引入到系统的总泛函中,再根据
变分原理或虚功原理得到系统的总体平衡方程。总
体平衡方程采用迭代法求解,在迭代过程中,存在
着材料非线性和接触条件两种迭代,其中材料非线
性迭代一般采用
Newton
-
Raphson
方法(简记为
N -R 方法)和 Q uasi-N ew ton 方法 (B F G S
[1]
),接触
条件的迭代过程则是一个搜索接触状态的过程。这
两种迭代的顺序并不固定,有的算法将材料非线性
迭代嵌套在接触迭代中
[1]
,有的算法是将这两种迭
代交替进行
[2]
,有的算法采用一致切线刚度将这两
种迭代同时进行
[3]
。对于接触问题,迭代类方法力
学意义直观,但解的收敛性难以保证。另一类方法
是规划法,就是将 3D -SE PFC P 转化成数学规划问
题来求解。文献[4,5]中,把塑性乘子和接触点对切
向相对滑动位移增量当作参变量,把屈服准则和接
触约束条件看作控制方程,建立了 3D -SE PFC P 的
参变
量变分原理,经有限元离散得到参数二次规划问
题,再利用 K uhn-T ucker条件将其转化为线性互
补问题,最后采用 Lem ke 算法求解。其中对库仑摩
擦定律和屈服函数都作了线性化假设,这样才能得
到线性互补模型。对三维摩擦接触问题来说,线性
互补模型是近似的,而且要引入多余的人工变量,
会降低计算效率。近期,陈国庆等
[6,7 ]
发展了一种非
线性互补模型(
N onlinear Com plem entary Prob-
le m
,简写为
NCP
)来描述三维静力弹性摩擦接触
问题,然后将
NCP
等价于非光滑非线性方程组的
形式,并提出采用光滑极小化方法来求解,最近,李
学文等
[8 ]
又提出采用非光滑阻尼牛顿法来求解。非
光滑非线性方程组方法(
N onsm ooth N onlinear E -
quations M ethod
,简写为
NNEQM
)中不需额外增
加变量个数,计算效率高,接触约束条件精确满足,
且收敛性好。鉴于 N N E Q M 的这些优点,本文把
NNEQM
和求解弹塑性问题的
Newton
-
Raphson
迭代法结合起来求解 3
D
-
SEPFCP
问题。同时,由
于弹塑性问题也可被看作是线性互补
[4 ]
或被写成
非光滑方程组的形式
[9]
,所以本文又把 3D-
SE PF CP 用一个由接触条件和屈服条件所组成的
完全非光滑非线性方程组来描述,从而直接采用
NNEQM
求解。为了下面叙述方便,将这两种方法
分别记为 N N E Q M 1 和 N N E Q M 2.
2 接触系统的基本描述
假 定质点发生小变形、小应变,且接触面为光
顺面。接触体系包含两个接触体 Ω
1
和Ω
2
,用 S
q
和
S
u
分别表示两接触体总的给定外荷载边界和给定
位移边界,S
c
表示两接触体的可能公共接触边界,
在可能公共接触面上定义局部坐标系 nab,向量 n
表 示可能接触面的法向,由体 Ω
2
指向体 Ω
1
,向量
a ,b 为可能接触面内的两个任意垂直的向量。在下
面 的变量定义中,变量前面加 d 表示该变量的增
量,变量前面加 Δ表示该变量的相对差值,u 表示
位移,σ表示应力,上标 1 和 2 表示接触体 Ω
1
和Ω
2
,
下标 n,a ,b 分别表示变量在局部坐标系中的分量。
可能接触面的相对间距及相对间距的增量定义为
Δu
i
= u
1
i
- u
2
i
+Δu
0
i
,Δdu
i
=du
1
i
-du
2
i
(i = x ,y ,z 或 i = n,a ,b) (1)
其中 Δu
0
i
表示可能接触面之间的初始间隙。
2.1 局部坐标系下的接触约束条件
(1) 作用力与反作用力原理:
σ
1
i
=- σ
2
i
(i = n,a ,b)(2)
可用 1 体上的接触应力表示接触面的接触应力,并
记作 σ
n
,σ
a
,σ
b
,由局部坐标系中法向定义可知,σ
n
受
压为正。
(2) 法向应力为压应力及法向非嵌入条件:
脱开状态:σ
n
=0且Δu
n
≥0
粘着和滑动状态:σ
n
≥0且Δu
n
=0 (3)
(3) 库仑摩擦定律:其中 μ表示摩擦系数,
粘着状态:
σ
τ
≤μσ
n
且Δdu
τ
= 0 (4a)
滑动状态:
σ
τ
=μσ
n
且Δdu
τ
≥0且θ
σ
=θ
d
+π (4b)
其中 σ
τ
=(σ
a
)
2
+(σ
b
)
2
,
Δdu
τ
=(Δdu
a
)
2
+(Δdu
b
)
2
;θ
σ
和θ
d
分别表示接
触面的切向接触应力方向、切向相对位移增量方向
(即滑动方向) 与 a 轴夹角。
2.2 弹塑性材料的本构关系、屈服函数、
流动法则
弹塑性材料服从 M ises屈服准则、相关联流动
法则,硬化规律为线性等向硬化,硬化参数采用等
效塑性应变。本构关系、屈服函数、流动法则的表达
式如式(5-7) 表示为
dσ
ij
= D
ep
ij kl
dε
kl
或dσ
ij
= D
ijkl
(dε
kl
-dε
p
kl
)(5)
f = f (σ
,ε
p
)= 3J
′
2
-(σ
0
Y
+ H
′
ε
p
)≤0 (6)
dε
p
kl
=dλ
f
σ
k l
(7)
其中 D 和 D
ep
分别表示弹性矩阵、弹塑性矩阵;
dσ,d ε,dε
p
分别表示应力增量、应变增量,塑性应变
增量;f 表示屈服函数,J
′
2
表示偏应力张量的第二
不变量,σ
0
Y
表示初始屈服强度,H
′
表示硬化系数,
ε
p
表示等效塑性应变,dλ表示塑性乘子增量,dλ=
d
ε
p
.
为了便于用规划法求解,屈服条件(6) 可写成
互补形式:
m in{- f ,dλ}= 0 (8)
3 弹塑性接触系统的虚功方程及其
有限元离散形式
系统的虚功方程可写为
∫
Ω
1
+Ω
2
dσ
ij
δdε
ij
dΩ-
∫
Ω
1
+Ω
2
db
i
δdu
i
dΩ-
∫
S
q
dq
i
δdu
i
dS -
∫
S
c
(dσ
n
(δdu
1
n
-δdu
2
n
)+ dσ
a
(δdu
1
a
-δdu
2
a
)+
dσ
b
(δdu
1
b
-δdu
2
b
))dS =0 (9)
du
i
∈ D
u
={du
i
∶du
i
=du
i
x
i
∈ S
u
}(10)
其中 du
i
表示位移增量,db
i
,dq
i
和du
i
分别表示给
定 的体力增量、面力增量、位移增量;dσ
ij
和dε
ij
分
别 表示应力增量、应变增量,D
u
表示位移可行集,
S
u
和 S
q
分别表示给定位移和给定面力边界。
在利用有限元对虚功方程离散后,可以得到系
统的平衡方程。由式(5) 中 dσ的不同表示方法可以
得到增量平衡方程的两种不同形式:
K
t
du =dR +dP (11)
K
el a s
du =Φdλ+ dR +dP (12)
式(12) 还可写作:
du =(K
elas
)
-1
(Φdλ+dR +dP )(13)
其中 K
t
,du ,dR 和dP 分别表示当前荷载增量步的
切线刚度阵、节点位移增量、外荷载增量和接触力
增量;K
ela s
表示结构弹性刚度阵,Φ表示塑性势
阵
[4 ]
,dλ表示高斯点的塑性乘子增量,(K
el a s
)
-1
Φ称
为塑性柔度阵。
586
第6期
胡志强,等: 弹塑性接触问题的非光滑非线性方程组方法
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