PHP 实现简单线性回归之数据研究工具
概念
简单线性回归建模背后的基本目标是从成对的 X 值和 Y 值（即 X 和 Y 测量值）组成
的二维平面中找到最吻合的直线。一旦用
最小方差法
找到这条直线，就可以执行各种统计
测试，以确定这条直线与观测到的 Y 值的偏离量吻合程度。
线性方程（ y = mx + b）有两个参数必须根据所提供的 X 和 Y 数据估算出来，它们
是斜率（ m）和 y 轴截距（ b）。一旦估算出这两个参数，就可以将观测值输入线性方程，
并观察方程所生成的 Y 预测值。
要使用最小方差法估算出 m 和 b 参数，就要找到 m 和 b 的估计值，使它们对于所有
的 X 值得到的 Y 值的观测值和预测值最小。观测值和预测值之差称为误差（ y
i
- (mx
i
+
b) ），并且，如果对每个误差值都求平方，然后求这些残差的和，其结果是一个被称为
预测平方差
的数。使用最小方差法来确定最吻合的直线涉及寻找使预测方差最小的 m 和 b
的估计值。
可以用两种基本方法来找到满足最小方差法的估计值 m 和 b。第一种方法，可以使用
数值搜索过程设定不同的 m 和 b 值并对它们求值，最终决定产生最小方差的估计值。第
二种方法是使用微积分找到用于估算 m 和 b 的方程。我不打算深入讨论推导出这些方程
所涉及的微积分，但我确实在 SimpleLinearRegression 类中使用了这些分析方程，以
找到 m 和 b 的最小平方估计值（请参阅 SimpleLinearRegression 类中的 getSlope()
和 getYIntercept 方法）。
即使拥有了可以用来找到 m 和 b 的最小平方估计值的方程，也并不意味着只要将这
些参数代入线性方程，其结果就是一条与数据良好吻合的直线。这个简单线性回归过程中
的下一步是确定其余的预测方差是否可以接受。
可以使用统计决策过程来否决“直线与数据吻合”这个备择假设。这个过程基于对 T 统
计值的计算，使用概率函数求得随机大的观测值的概率。正如第 1 部分所提到的，
SimpleLinearRegression 类生成了为数众多的汇总值，其中一个重要的汇总值是 T 统
计值，它可以用来衡量线性方程与数据的吻合程度。如果吻合良好，则 T 统计值往往是一
个较大的值；如果 T 值很小，就应该用一个缺省模型代替您的线性方程，该模型假定 Y 值
的平均值是最佳预测值（因为一组值的平均值通常可以是下一个观测值的有用的预测值）。
要测试 T 统计值是否大到可以不用 Y 值的平均值作为最佳预测值，需要计算随机获得
T 统计值的概率。如果概率很低，那就可以不采用平均值是最佳预测值这一无效假设，并
且相应地可以确信简单线性模型是与数据良好吻合的。
回过头讨论统计决策过程。它告诉您何时不采用无效假设，却没有告诉您是否接受备
择假设。在研究环境中，需要通过理论参数和统计参数来建立线性模型备择假设。
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