在数学和应用数学领域，研究微分方程的周期解是一个重要课题，具有广泛的实际背景和理论意义。本文讨论了一类高阶非线性微分方程的正周期解的存在性问题，具体而言，是关于研究微分方程Lnu=f(t,u(t))的ω-周期解的充分条件。这里，L是定义为n阶线性微分算子Lnu=u(n)+a_(n-1)u^(n-1)+...+a_0u的线性微分算子，f(t,u)是在其定义域上关于时间变量t具有ω周期性的非线性函数。问题的关键在于，我们不仅关注周期解的存在性，更关注解的正性，即寻找正的ω-周期解。
为了研究这类问题，文章主要应用了Krasnoselskii锥映射不动点定理。这个定理是不动点理论中的一个重要工具，广泛应用于非线性分析，特别是在研究微分方程或积分方程中解的存在性问题。不动点定理提供了一种构造函数不动点的方法，并因此可以证明解的存在性。
文章首先介绍了一些预备知识，包括相关的概念和已有的研究成果。预备知识中提到了Banach空间的概念，它是一种完备的赋范线性空间，用于构建函数的范数空间和研究函数的连续性、极限等性质。此外，还介绍了线性周期边值问题和正算子的概念，这些概念对于理解Krasnoselskii锥映射不动点定理的应用至关重要。
通过对n阶线性周期边值问题的研究，文章证明了当微分算子Lnu的特征多项式的根都是非正时，可以使用上、下解定理来研究周期解的存在性。这个理论基础是研究周期解的一个重要工具，它能够通过构建上下解来估计解的可能范围。
文章的核心是将研究问题转换为寻找特定Banach空间中的不动点问题。通过构造一个闭凸锥K和一个适当的全连续映射Q，研究者将原微分方程的周期解问题转化为寻找映射Q在K中的不动点问题。在这些条件下，根据Krasnoselskii锥映射不动点定理，能够保证在一定条件下，映射Q在闭凸锥K内有不动点，从而说明了正ω-周期解的存在性。
具体来说，Krasnoselskii定理要求满足特定的压缩或扩张条件，这在映射Q中得到了体现。文章通过构造和证明，展示了在满足定理A中所述条件之一的情况下，可以确保存在不动点。这就为寻找微分方程Lnu=f(t,u(t))的正ω-周期解提供了可能。
文章进一步给出了相关定理和引理的证明，证明线性周期边值问题存在唯一解，并说明了在特定条件下，线性算子Tn是正算子。证明的结构展示了通过构造适当的函数空间和映射，可以利用线性算子的性质来研究非线性问题。
文章的作者徐宏式和李小龙通过研究，最终获得了该类高阶非线性微分方程正周期解存在性的充分性条件。这项研究不仅补充了微分方程周期解领域的理论空白，也为相关领域的研究者和工程师提供了有益的工具和思路。
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