在2011年发表于吉林大学学报（理学版）的研究文章中，沈春芳、梁艳和汪小玉通过利用范数形式的锥拉伸锥压缩不动点定理，对一类涉及复杂非线性项的分数阶微分方程多点边值问题进行了探讨，并给出了正解存在的充分条件。该类问题的非线性项包含未知函数的分数阶导数项。文章的关键词包括分数阶微分方程、正解、锥和不动点。
要理解分数阶微分方程。分数阶微分方程是微分方程的一种推广形式，其中微分的阶数可以是分数，而传统微分方程中的导数阶数通常是整数。在应用领域中，分数阶微分方程因其在描述具有记忆和遗传特性的物理系统时的优越性而受到广泛关注，比如在物理、生物学和空气动力学等领域的建模中非常有用。
在文章中讨论的多点边值问题，特别关注的是分数阶微分方程的三点边值问题。边值问题通常在给定区间两端或几个点上的解的取值是已知的。对于三点边值问题，通常是选择三个不同的点来定义边界条件。
针对本文所讨论的问题，非线性项含有未知函数的分数阶导数项，这意味着方程中涉及到的不仅是未知函数本身，还包括其导数的分数幂次。这类问题在解析和数值求解上都更加复杂。
不动点定理是分析和计算不动点问题的数学工具，它在研究边值问题的解存在性中发挥着关键作用。本文采用了锥拉伸锥压缩不动点定理，这一定理是不动点定理的一个变种，它通过分析函数在锥形空间上的性质来研究不动点的存在。利用这一理论，可以为复杂非线性项的分数阶微分方程多点边值问题找到解的充分条件。
在具体的研究过程中，首先需要引入分数阶积分和微分的定义。定义了函数的Riemann-Liouville分数阶积分和导数，这是处理分数阶微分方程的基础。然后，通过定义适当的函数空间和锥形结构，建立了一个适当的分析框架。
接着，文章对所研究的非线性项进行了详细分析，讨论了函数f的性质，例如在何种条件下它是连续的，并且可能包含有关于未知函数及其分数阶导数的适当增长性质。
最终，文章给出了三点边值问题正解存在性的充分条件，并且分析了相关问题的解结构。这些充分条件通常涉及到非线性项的具体形式、边界条件的设置以及分数导数项的性质。
整体来看，这项研究工作对于理解具有复杂非线性项的分数阶微分方程多点边值问题的正解具有重要意义，为研究者在相关领域提供了理论依据和方法指导。同时，这项工作也为物理、生物学等学科中遇到的实际问题的数学建模提供了工具，有助于更深入地理解与分析各种复杂系统中的动力学行为。
