多维g-期望与风险测度是金融数学领域中的一个高深研究主题，它涉及随机微分方程、非线性期望理论以及风险度量等多个复杂的数学领域。徐玉红在这篇论文中，首次提出了多维g-期望的概念，对非线性期望理论进行了多维推广。下面我们对这篇论文中的重要知识点进行详细阐述。
非线性期望与g-期望的概念是由Peng在1992年和1997年引入的，用以解释著名的Allais悖论现象。g-期望是一种非线性期望的推广，它保留了经典数学期望的许多性质，除了线性。g-期望能够用于描述非线性递归效用、风险度量以及或然索赔的定价等。Duffie和Epstein（1992）、Rosazza（2006）以及EPQ（1997）等都曾对此进行了探讨。
然而，在多维情况下的g-期望研究之前，几乎没有相关的论文。其主要原因是，无法给出一个关于多维倒向随机微分方程（BSDEs）解的比较定理的良好必要且充分条件，同时多维比较定理的形式比一维情况要复杂得多。徐玉红的工作是从倒向随机微分方程的生存性质（BSVP）出发，通过技术性的结果，为多维BSDEs的比较定理提供了明确的表达，使得多维比较定理变得更加实用。进而，徐玉红给出了多维g-期望的常数性、单调性和正性属性的必要与充分条件；并且证明了，如果生成器g满足某些类似凹性质的条件，那么由多维g-期望引入的多维风险度量就是凹的。
倒向随机微分方程（BSDEs）是研究多维g-期望中不可或缺的工具。它是对未来不确定性的数学模型，可以用来解决多时期或连续时间内的决策问题，特别是在金融领域中对衍生品定价、风险管理和最优控制等方面有着重要应用。BSDEs的研究在解决非线性期望理论中的多维问题时尤为关键，它们能够反映风险和不确定性对于决策的影响。
多维BSDEs的比较定理是分析这些方程的基础。比较定理能够提供不同解之间关系的判断标准，从而用于研究g-期望在多维情形下的属性。徐玉红的工作在这里尤为重要，因为他提供了明确表达条件的必要性和充分性，为多维BSDEs的解的性质的研究奠定了基础。
风险度量是多维g-期望的另一个关键概念。在金融数学和金融工程中，风险度量用于量化和管理市场风险、信用风险、操作风险等各种风险。传统的风险度量方法，如VaR（Value at Risk），是线性的，而现代金融理论更倾向于使用非线性的风险度量，以更准确地反映真实的风险状况。由于g-期望的非线性特性，结合g-期望理论发展出来的多维风险度量能够提供更符合实际的风险评估。
具体到本文的研究，多维风险度量基于多维g-期望，被证明当生成器g满足特定的凹性质时，多维风险度量是凹的。这意味着，在一定的假设下，整个多维g-期望体系能够为风险评估提供合理和稳定的结构。这对于金融产品的定价、风险对冲以及投资组合的管理具有深远意义。
总结来说，徐玉红这篇论文中的知识点涵盖了非线性期望、多维倒向随机微分方程、多维比较定理、多维g-期望以及基于此的多维风险度量等多个方面。这些理论和技术结果为金融数学和风险管理领域提供了新的分析工具，同时也为未来在这一领域的进一步研究提供了基础和可能的方向。
