Balanced Boolean functions \sigma_f=22n+2n+3(n\geq 4)

在密码学中，布尔函数的安全性对于流密码的设计至关重要。布尔函数的一些重要标准包括严格雪崩准则（Strict Avalanche Criterion, SAC）和传播特性（Propagation Criterion, PC），它们仅能捕捉布尔函数的局部性质。为了提升布尔函数的全局属性，Zhang和Zheng引入了全局雪崩特性（Global Avalanche Characteristic, GAC）的概念，包括平方和指标（Sum-of-Squares Indicator, σf）和绝对指标（Absolute Indicator, △f），并为这两个指标提供了下界和上界：22n ≤ σf ≤ 23n，0 ≤ △f ≤ 2n。后续的研究者Son等人给出了平衡布尔函数的这些指标的下界：σf ≥ 22n + 2n + 3，△f ≥ 8（n ≥ 3）。本文作者提出了一项研究结果，证明在n≥4时，不存在具有特定哈明重量（Hamming Weight）的分解函数的平衡布尔函数，其平方和指标可以达到22n + 2n + 3。此外，本文还给出了一系列平衡布尔函数在传播准则数量等于或小于7·2n−3−1时的传播准则阶数的上界。研究还获得了具有最优自相关分布的平衡布尔函数的平方和指标的两个下界，并推导了平方和指标与布尔函数非线性之间的关系，新的非线性值改进了之前已知的非线性值。 布尔函数是密码学中的一个基本构件，尤其在流密码中扮演着核心角色。流密码是一种通过线性反馈移位寄存器（Linear Feedback Shift Register, LFSR）生成伪随机比特流的加密算法，这种比特流与明文进行异或操作产生密文。布尔函数的性质，如平衡性和雪崩效应，对于密钥流的随机性和密码系统的安全性具有决定性的影响。 严格雪崩准则是衡量布尔函数对输入变化敏感程度的一个标准。如果输入比特的任何改变都能引起输出的近半数比特发生改变，则称该布尔函数满足SAC。传播特性是指布尔函数输出中引起特定变化的能力。具体来说，一个布尔函数的一阶传播特性（PC1）是指，无论输入比特如何改变，输出比特中至少有一个比特位在半数以上情况下会改变；二阶传播特性（PC2）则是指至少有两个比特位会受影响，以此类推。 全局雪崩特性是衡量布尔函数全局性质的另一重要标准，其中包括了平方和指标和绝对指标。平方和指标是通过将输入比特的所有可能变化对输出变化的贡献进行平方后求和得到的，它反映了布尔函数在输入变化时全局输出变化的均匀程度。绝对指标则是一个布尔函数输出差的绝对值之和，它度量的是布尔函数输出变化的总体绝对量。 本文中提到的平衡布尔函数是指其输出中1和0的数量相等的布尔函数。这类布尔函数在流密码中特别重要，因为它们能够确保密钥流中的0和1出现的概率相等，从而使得密文在统计上的可预测性最小化。 在布尔函数的设计和分析中，还有另一个重要的概念，即代数免疫性。代数免疫性是指布尔函数抵抗代数攻击的能力，代数攻击是一种利用布尔方程来尝试破解流密码的方法。代数免疫性越高，布尔函数抵抗这类攻击的能力越强。 由于流密码在实际应用中的广泛性和对安全性要求的严格性，对布尔函数的研究在密码学领域是一个非常活跃的课题。本文的研究结果在理论和实践中都具有一定的指导意义，对于密码设计者来说，提供了新的布尔函数设计的理论指导，有助于设计出具有更强安全性的流密码算法。