在本章中，我们主要探讨了广义逆矩阵的概念，这是线性代数中的一个重要理论分支，同时在实际应用中具有广泛的应用价值。广义逆矩阵的概念最早由美国数学家E. H. Moore在1920年提出，后由英国数学家Roger Penrose在1955年进一步发展，并提出了著名的Penrose方程组来定义广义逆矩阵。
我们从可逆矩阵入手，讨论了当系数矩阵A可逆时（m=n），线性方程组Ax=b的唯一解问题。随后，我们讨论了当A不是满秩矩阵时，如何通过正交三角分解或者正规化方程来求解线性方程组。这里提到了正交三角分解是将矩阵A分解为一个正交矩阵U和一个上三角矩阵R的乘积，即A=UR。
当我们遇到m不等于n的情况时，例如n<m的情况，这时候矩阵A的秩小于其列数，我们无法要求AA˜=Im，但可以认为A˜=R¡1U⁄是A的某种意义上的逆矩阵。Moore提出，对于任意的矩阵A，其广义逆矩阵X应该满足AX=PR(A)与XA=PR(X)，其中PR(A)表示A的列空间上的正交投影矩阵。
然而，Moore的定义较为复杂且不易理解，因此在实践中并不常用。Penrose提出了一组新的方程组来定义广义逆矩阵，即AXA=A、XAX=X、(AX)⁄=AX、(XA)⁄=XA。这四个条件虽多，但涉及的只有两个矩阵，因此比Moore的条件更容易研究和应用。因此，Penrose的广义逆矩阵定义自提出之后迅速被重视，并广泛应用于各个学科领域中。
Penrose定义中的广义逆矩阵包括Moore-Penrose广义逆、{1}-逆、{1,3}-逆和{1,4}-逆等，其中Moore-Penrose广义逆和{1}-逆应用最为广泛。本章详细介绍了这些广义逆矩阵的定义以及它们的存在性。
接着，本章探讨了正交投影矩阵的性质，指出如果方阵A满足A^2=A，则A可以视为在Cn上的一个投影算子，这个算子在像空间R(A)上的作用是恒等变换，而在核空间N(A)上的作用是零变换。如果A的像空间与核空间正交，则称A为正交投影矩阵。
本章证明了Moore的广义逆矩阵定义与Penrose的定义是等价的，即它们描述的是同一种类型的矩阵。通过研究Moore方程组中的投影矩阵PR(A)与PR(X)，我们了解到Moore-Penrose广义逆矩阵的概念，即满足上述四个方程的X矩阵。
广义逆矩阵的理论为处理不可逆矩阵提供了一种有效的工具，它不仅在理论数学中有重要作用，而且在许多应用学科中都有广泛应用。这包括数理统计、多元分析、最优化理论、控制论和网络理论等领域。研究广义逆矩阵能够帮助解决实际问题，如在机器学习、数据分析和工程计算中处理过定或欠定的系统问题。通过这一理论，我们可以求解最小二乘问题，寻找线性方程组的近似解，以及在不完全数据条件下估计模型参数等。
