数学期望（性质）
数学期望是概率论中的一个重要概念，它描述了随机变量的平均值。数学期望的性质包括线性性质、.monotonicity、homogeneity、translation invariance等。
在随机变量函数的数学期望中，我们可以使用定理来计算随机变量的数学期望。例如，若xf是一元 Borel 函数，而ξf＝ηf，则ydFyf(x)＝∫∫ydFyf(x)dx＝∫∫ydFyf(x)dx＝E[ηf]。
在随机变量函数的数学期望中，我们还可以使用定理来计算随机变量的数学期望。例如，若xf是一元 Borel 函数，而ξf＝ηf，则ydFyf(x)＝∫∫ydFyf(x)dx＝∫∫ydFyf(x)dx＝E[ηf]。
在多维场合中，我们可以使用定理来计算随机向量的数学期望。例如，若ξ１，ξ２，…，ξn是n个随机变量，而g(x₁，x₂，…，xn)是n元 Borel 函数，则E[g(ξ₁，ξ₂，…，ξn)]＝∫∫…∫g(x₁，x₂，…，xn)dFx₁(x₁)dFx₂(x₂)…dFxn(xn)。
数学期望的基本性质包括：
1.ba≦ξ≦b，期望存在，则b≦E[ξ]≦a。
2.线性性质：E[aξ+b]＝aE[ξ]+b。
3.若ξ₁，ξ₂，…，ξn是n个随机变量，则E[ξ₁+ξ₂+…+ξn]＝E[ξ₁]+E[ξ₂]+…+E[ξn]。
数学期望的应用包括：
1.计算随机变量的数学期望，以了解其平均值。
2.计算随机变量的方差，以了解其离散程度。
3.应用于统计学和机器学习中，以了解数据的分布和特征。
习题：
1. 设ξ是一个随机变量，且其分布函数为F(x)，试求E[ξ]。
2. 设ξ是一个随机变量，且其分布函数为F(x)，试求E[ξ²]。
3. 设ξ₁，ξ₂，…，ξn是n个随机变量，且它们的分布函数分别为F₁(x)，F₂(x)，…，Fn(x)，试求E[ξ₁+ξ₂+…+ξn]。
解决方案：
1. 使用定理计算随机变量的数学期望：E[ξ]=∫xf(x)dFx。
2. 使用定理计算随机变量的数学期望：E[ξ²]=∫x²f(x)dFx。
3. 使用定理计算随机变量的数学期望：E[ξ₁+ξ₂+…+ξn]=E[ξ₁]+E[ξ₂]+…+E[ξn]。
以上习题的解决方案都是使用数学期望的定义和基本性质来计算随机变量的数学期望。
