在 MATLAB 开发环境中，对称 QR 算法（Symmetric QR Algorithm）是一种处理对称矩阵的数值线性代数方法。对称 QR 算法通常用于求解对称矩阵的特征值问题，因为对称矩阵的特征值对应于其主对角线元素经过某种正交变换后的对角线元素。这种算法引入了排列（permutations）来优化计算过程，提高数值稳定性，并减少迭代次数。
对称 QR 算法的基本思想是通过一系列 QR 分解和列置换步骤，将对称矩阵逐渐转化为上三角形矩阵，进而暴露其特征值。在经典 QR 算法中，每次迭代都会将一个非对角元素变为零，但可能不会最优地选择消元的顺序。而在“具有排列的对称 QR 算法”中，算法会选择最佳的列交换策略，使得消元过程更为高效。
该算法的具体步骤如下：
1. **初始化**：从对称矩阵 A 开始，通过Householder 反射构造 QR 分解，即 A = Q R，其中 Q 是正交矩阵，R 是上三角形矩阵。
2. **列置换**：根据某些准则（如最小绝对值元素准则）选择列进行交换，使 R 的非对角线元素按某种顺序排列，以优化后续的消元过程。
3. **更新 QR 分解**：应用列置换到 R 和 Q 上，得到新的 QR 分解 A = P Q R，其中 P 是列置换矩阵。
4. **迭代**：重复步骤 2 和 3，直到 R 成为近似的对角矩阵，或者达到预设的迭代次数上限。
5. **提取特征值**：上三角形矩阵 R 的对角线元素即为原对称矩阵 A 的近似特征值。
在 arXiv:1402.5086 文档中，作者深入研究了如何选择最有效的列置换策略，以改进算法的性能。他们可能还探讨了与其他 QR 算法变体（如不完全 QR 算法或Lanczos算法）的比较，以及如何在实际应用中平衡计算成本和精度。
在提供的 `qra.zip` 压缩包文件中，可能包含了 MATLAB 代码实现，用于演示和比较不同版本的对称 QR 算法。这些代码可能包括：
- 主函数，用于调用算法并输出结果。
- 函数库，包含实现 QR 分解、列置换等操作的辅助函数。
- 示例输入数据，用于测试算法性能。
- 结果分析脚本，用于可视化或统计比较不同算法的性能指标。
通过对这些 MATLAB 代码的分析和运行，我们可以更深入地理解对称 QR 算法的工作原理，以及排列在优化数值计算中的作用。这对于进行数值线性代数研究、软件开发，尤其是涉及对称矩阵问题的领域，如结构力学、量子力学等，都具有重要的实践价值。
45642-symmetric-qr-algorithm-with-permutations.zip （1个子文件） 
qra.zip 5KB
