在数学领域，偏微分方程是研究函数关于多个变量的偏导数的方程，它是数学物理中的重要工具，用于描述各种物理现象和工程问题。本文研究的是一类非对称的p-Laplacian Dirichlet问题，它属于偏微分方程的范畴。在解决此类问题时，非平凡解的存在性是研究的难点和关键所在。此处的“非平凡解”指的是除了零解之外的其他解。
p-Laplacian算子是一类推广的Laplacian算子，它在非线性偏微分方程中占有重要的地位，特别适用于研究非线性椭圆方程和抛物方程。其形式可以表示为：-div(|∇u|^(p-2)∇u)，其中u是定义在某个区域上的函数，p是一个大于1的实数，代表Laplacian算子中导数的阶数。当p=2时，p-Laplacian退化为通常的Laplacian算子。
Dirichlet问题是偏微分方程理论中的一个经典问题，主要研究给定边界条件时偏微分方程的解。它要求解在给定的区域边界上取固定值，而在区域内满足偏微分方程。本文研究的Dirichlet问题特别关注在正半轴上不需要假设Ambrosetti-Rabinowitz的超二次条件的非对称p-Laplacian方程。
Ambrosetti-Rabinowitz条件是一种重要的假设条件，在寻找非线性泛函临界点时经常用到。它通常假设在无穷远处，非线性项关于解的某些形式是超二次的，即增长率超过二次。在此条件下，可以利用山路定理来确保泛函满足山路几何结构，从而保证其临界点的存在性。
山路定理是泛函分析中的一个重要工具，它提供了一种寻找临界点的方法，这种临界点对应于能量泛函的非平凡解。简而言之，山路定理表明，如果一个泛函既满足一定的“下山”性质，又满足一定的“上山”性质，并且满足一个局部紧性的条件，那么这个泛函至少存在一个非零的临界点。
在本文的研究中，通过不假设Ambrosetti-Rabinowitz条件，而使用山路定理和变形的山路理论来建立非平凡解的存在性结果。这是在处理非对称p-Laplacian Dirichlet问题时的一个创新之处。山路定理要求泛函既要有“下山”性质也要有“上山”性质，即泛函在某个方向上先减小后增加，这一性质被称为山路几何结构。
具体到本文研究的问题，山路理论应用于一个特定的能量泛函I(u)，其形式是通过积分形式定义的。泛函I(u)的临界点即对应于原问题的解。为了确保泛函I(u)的临界点存在，需要验证其满足(PS)条件，即在任何序列{u_n}上满足I(u_n)有界和I'(u_n)→0时，都能找到一个收敛的子序列。在传统的山路定理中，通常需要假设一个类似于Ambrosetti-Rabinowitz条件的技术性条件来满足(PS)条件。然而，本文作者们展示了在某些渐近线性或单侧共振的条件下，即使在没有这种超二次条件的情况下，也可以通过变形的山路理论克服(PS)条件的验证难题。
文章中还提到了超线性、渐近线性和单侧共振等概念。超线性是指函数在无穷远处的性质超过线性增长；渐近线性意味着函数在无穷远处的增长速率接近线性；单侧共振则是指在某一方向上函数的增长速率比另一方向上快，这在处理边界条件或非线性项不对称的情况下尤其重要。
文章的作者胡玉玲和裴瑞昌最终证明了，在没有Ambrosetti-Rabinowitz超二次条件下，通过适当的变形山路理论，可以确保非对称p-Laplacian Dirichlet问题的非平凡解的存在性，这对于数学物理方程的理论研究和实际应用都具有重要意义。
