On the Green rings of finite dimensional Hopf algebras

标题中提到的“Green rings of finite dimensional Hopf algebras”指向的是在有限维Hopf代数背景下对Green环的研究。Hopf代数是一类代数结构，源于对量子群的研究，它在数学中被用于表示理论、代数几何以及数论等领域。Green环，又称为表示环，是模表示理论中的一个概念，用于编码给定代数或范畴中不可约模的信息。 描述提到，论文主要研究了在代数闭域上任意有限维Hopf代数上两个不可分解模的张量积，并刻画了平凡模是否为张量积的直和项。此处的“平凡模”指的是模论中的零模，它是一种特殊的模，结构上没有任何元素生成。张量积的直和项则涉及到模的分解性质，这是模表示理论的基本问题之一。通过对这种分解性质的刻画，论文进一步得到Hopf代数的Green环上的一些单边理想。这些理想有助于研究Green环的幂零根和中心的本原幂等元，这些都是代数环论中的重要概念。 在部分内容中，提到了研究中使用了双线性型，这是线性代数中的工具，用于分析和解决问题。当Hopf代数是有限表示型的时候，其Green环被证明是整数环上的Frobenius代数。Frobenius代数是一种特殊的代数结构，具有Frobenius内积的性质，它在数学的许多领域如代数几何、拓扑学和表示理论中都有重要的应用。此外，还提到了对偶基与几乎可列序列对应，这是指在Frobenius代数的框架下，可以通过某些特定的基和序列进行对偶性研究。 关键词中包括“Green环”，“双线性型”，“有限表示型”以及“Frobenius代数”，都是本研究的核心概念。中图分类号为16W30和19A22，分别指代了代数学中的Hopf代数以及同调代数领域。 在引言部分，作者提到已知任何有限维Hopf代数的有限维模范畴是一个张量范畴，其中任意两个不可分解模的张量积总可以分解为不可分解模的直和。然而，得到这种分解的方式并不是显而易见的。为了解决这个问题，作者建议将张量积视为Green环（或表示环）的乘积，并研究Green环的环理论性质。这个提议受到J.A. Green关于有限群的模表示的研究启发。作者也提到了之前Chen, Van Oystaeyen和Zhang通过生成元和关系确定任意Taft代数的Green环的工作。这表明本文的研究工作是在先前研究的基础上，对更一般情况下的Hopf代数的Green环进行深入探讨。