满足aA+Aa=A的环A的结构 (1991年)

在数学领域中，环论是代数学的一个重要分支，主要研究环、理想以及模等代数结构。在给定文件的内容中，涉及到环的特定类型，即满足特定条件的环——S-环，以及围绕这些结构的数学证明和性质讨论。以下是对这些知识点的详细说明。 ### S-环的定义 在给定的内容中，S-环是指一个结合环A，它满足对于任意非零元素a属于环A，都有aA+Aa=A的关系成立。这里aA表示a与环A中任意元素的乘积集合，Aa同理。这个性质定义了S-环的结构，并且在数学文献中有时被称为Szasz环，以纪念提出相关问题的数学家Szasz。 ### S-环的结构和相关引理 文件中提到了若干引理，这些引理揭示了S-环的深层结构。例如，引理1说明了S-环是无零因子的幂等单环，这意味着S-环既是单环也是幂等环，且没有零因子。引理2、3、4进一步阐述了S-环的性质，例如，S-环是形心域上无零因子的单代数。特别地，引理3指出，S-环中最多只有一个非零幂等元，并且这个非零幂等元就是环的单位元。 引理5探讨了S-环中的元素，指出S-环的每个元素都是形心域上的代数元。根据引理5，如果一个S-环有一个非零的中心元素，那么S-环是形心域上具有单位元的代数。引理6讨论了没有单位元的S-环，得出每个非零元都是形心域上的超越元，因此S-环是纯超越的单纯代数。 ### S-环的特征和相关定理 定理1和推论说明了当S-环在形心域上为代数时，它是一个含形心域的可除代数，并且当特征为素数时，S-环是形心域的代数扩域。定理2表明，如果环是形心域上的代数，且没有非零幂等元，那么环是含有形心域的有限维可除代数，且在特征为素数时是有限维代数扩域。 ### S-环与除环的关系 定理2还展示了环、除环、可除代数以及单侧理想之间的关系。根据定理，以下五个命题是等价的：(1)环是除环；(2)环是形心域上的可除代数；(3)对于环中任意非零元素a，都有Aa=aA=A；(4)对于环中任意非零元素a，都存在Aa=A或aA=A；(5)环是含有单位元且有极小单侧理想的单环。 ### 结论 通过这些引理和定理的证明，文章解决了由Szasz提出的问题，并且对满足特定条件的环（S-环）的结构有了深入的了解。这些理论不仅丰富了环论的内容，也为进一步的数学研究提供了理论基础。这些结构的发现和证明，对于抽象代数、代数几何、数理逻辑等领域都有着潜在的重要意义。