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第
35
卷 第
3
期
20 1 6
年
6
月
Vol .35 No.3
Jun.20 1 6
99
Journal of Shandon
g
Un iversit
y
of Science and Technolo
gy
NNaattuurraall SScciieennccee
具有多噪声的马尔科夫跳变随机系统的精确能观性
王
维
1
,
张永华
2
,
梁向前
1
(
1.
山东科技大学 数学与系统科学学院
,
山东 青岛
2665 90
;
2.
山东科技大学 信息科学与工程学院
,
山东 青岛
2665 90
)
摘
要
:
本文研究了具有多噪声 的马尔科夫
(
Markov
)
跳变随机系统的精确能观性问题
,
利用
H
-
表示和谱算子的方
法以及伊藤公式
,
建立了马尔科夫跳变随 机系统的系 数 矩 阵 和 确 定 性 系 统 的 系 数 矩 阵 之 间 的 关 系
,
将 随 机 系 统 的
精确能观性转化为确定性系统的完全能观性
,
从而得到了离散时间马 尔科夫跳变随机系 统 的 精确能观 性 的格拉姆
矩阵判据
(
Gramian matrix criterion
)。
关键词
:
精确能观性
;
H
-
表示
;
格拉姆矩阵判据
中图分类号
:
O231
文献标志码
:
A
文章编号
:
1 6 72-37 6 7
(
2016
)
03-009 9-07
Exact Observabilit
y
of Markov Jum
p
Stochastic S
y
stems with Multi
p
licative Noise
WANG Wei
1
,
ZHANG Yon
g
hua
2
,
LIANG Xian
gq
ian
1
(
1.Colle
g
e of Mathematics and S
y
stems Science
,
Shandon
g
Universit
y
of Science and Technolo
gy
,
Qin
g
dao
,
Shandon
g
2665 90
,
China
;
2.Colle
g
e of Information Science and En
g
ineerin
g
,
Shandon
g
Universit
y
of
Science and Technolo
gy
,
Qin
g
dao
,
Shandon
g
2665 90
,
China
)
Abstract
:
This
p
a
p
er studied the issue of exact observabilit
y
of Markov
j
um
p
stochastic s
y
stems with multi
p
licative
noise.Usin
g
H
-re
p
resentation
,
the method of s
p
ectral o
p
erator and
It^o
formula
,
the relationshi
p
between the coef-
ficient matrix of Markov
j
um
p
stochastic s
y
stems and that of deterministic s
y
stems is established
,
and the exact ob-
servabilit
y
of Markov
j
um
p
stochastic s
y
stems is transformed into com
p
lete observabilit
y
of deterministic s
y
stems.
Finall
y
,
the Gramian matrix criterion of exact observabilit
y
relatin
g
to discrete-time of Markov
j
um
p
stochastic s
y
s-
tems with multi
p
licative noise is obtained.
Ke
y
words
:
exact observabilit
y
;
H
-re
p
resentation
;
Gramian matrix criterion
收稿日期
:
2015-12-3 1
基金项目
:
国家自然科学基金项目
(
61402265
);
山东科技大学群星计划 项目
(
q
x2013 1 1 1
)
作者简介
:
王
维
(
1 9 90
—),
女
,
山东枣庄人
,
硕士研究生
,
主要从事随机控制及其 应用研究
.E-mail
:
wan
g
wevi@163.com
梁向前
(
1 9 69
—),
河南伊川人
,
副教授
,
博士
,
主要从事复分析
、
计算机密码学研究
,
本文通信作者
.
E-mail
:
lian
g
x
q
87@1 26.com
在现代控制理论中
,
能观性是控制问题中的一个基本而重要的特性
。
系统的能观性可以反映系统直接
测量输入输出量的量测值以便确定系统状态的可能性
。
随着控制理论的发展
,
能观性对于控制和 状 态 估 计
问题研究的作用越来越重要
。
马尔科夫
(
Markov
)
跳变系统有着广泛的实际应用背景
,
也是近年来控制领域
热门的研究方向之一
。
近年来
,
谱技术被成功的运用到线性随机系统的精确能观测问题中
,
Zhan
g
等
[
1-2
]
用广义
L
y
a
p
unov
算子
的方法给出了连续时间随机时不变系统的精确能 观 测 的 随机
Po
p
ov-Belevitch-Hautus
(
PBH
)
判据
,
并将 确
定性系统的能观性问题推广到 随 机 系 统上
,
采用 随 机 谱 方 法 得 到 了 判 定 精 确 能 观 性 的
PBH
判 据
。
Zhan
g
1 00
第
35
卷 第
3
期
20 1 6
年
6
月
Vol .35 No.3
Jun.20 1 6
等
[
3
]
研究了线性随机时变系统的精确能观性
,
给出了判定连续时间和离散 时 间 的 精 确 能 观性的格拉姆矩阵
判据和秩判据
。
由于马尔科夫跳变系统能被应用到自然和工程中
,
因此该类系统也已经得到了广泛的研究
。
Hou
等
[
4
]
研究了离 散 时 间 马 尔 科 夫 跳 变 参 数 和 乘 积 噪 声 随 机 系 统 的 精 确 能 观 性 的
PBH
判 据
。
Vasile
等
[
5-6
]
研究了马尔科夫跳和多个白噪声的随机系统的稳定性和能稳性问题
,
给出了保证随机能稳性和随机 能
检测性的充要条件
,
得到了随机马尔科夫跳系统的一个有 界实引理
,
并引入了随 机 能 观 性 的 定 义
,
推广了确
定性离散线性时变系统的一致能观性的定义
。
Costa
等
[
7
]
引入了连续时间 马尔科夫跳变系统的
MS-
稳定性
和
W-
能观性的定义
,
利用能观性矩阵得到了
W-
能观性的检验条件
。
Ma
等
[
8-9
]
研究了带乘积噪声的离散时
间随机马尔科夫跳变系统的有限时域和无限时域的
H
2
/
H
∞
控制
。
本文找到了一个判别具有多噪声的马尔科夫跳变随机系统的精 确能观性的方 法
,
即利用文献
[
10
]
中去
掉重复元素的
H
-
表示方法
,
将马尔科夫跳变随机系统的精确能观性转化为确定 性系统的完全能观性问题
,
给出了具有多 噪 声 的 离 散 时 间 马 尔 科 夫 跳 变 随 机 系 统 精 确 能 观 的 充 分 必 要 条 件
———
格 拉 姆 矩 阵 判 据
(
Gramian matrix criterion
)。
为方便起见
,
在本文中采用下列记号
:
A′
表示向量或矩阵
A
的转置
;
A
-1
表示向量或矩阵
A
的逆
;
A
≥0
(
A
>0
)
表示矩阵
A
是半正定
(
正定
)
矩阵
;
I
C
表示集合
C
的示性函数
;
E
(
x
)
表示随机变量
(
向量
)
x
的数学
期望
;
σ
(
L
)
表示算子
L
或矩阵
L
的谱集
;
R
n
表示
n
维欧几里德空间
;
R
m
×
n
表示
m
×
n
实矩阵的全体
;
S
n
×
n
表
示
n
×
n
对称矩阵的全体
;
N
=
{
0
,
1
,…};
N
K
=
{
0
,
1
,…,
K
};
¯
N
=
{
1
,
2
,…,
N
};
S
N
n
表示 所 有
A
N
=
(
A
1
,
A
2
,
…,
A
N
)
组成的空间
,
其中
A
i
是
n
×
n
对称矩阵
,
i
=1
,
2
,…,
N
,
且
S
N
n
是实的希尔伯特空 间
。
I
表示单位矩
阵
;(
Ω
,
F
k
,
P
)
表示完备的概率空间
,
其中
Ω
为样本空间
,
F
k
为
Ω
的子集构成的
σ
代数
,
P
为概率度量
;
A
⊗
B
表示矩阵
A
和
B
的克罗内克
(
Kronecker
)
积
。
在给定的概率空间
(
Ω
,
F
k
,
P
)
中
,
考虑以下形式的具有多噪声的离散时间马尔科夫跳变随机系统
:
x
(
k
+
1
)
=
A
θ
k
(
k
)
x
(
k
)
+
∑
m
p
=
1
C
θ
k
,
p
(
k
)
x
(
k
)
w
p
(
k
),
x
(
0
)
=
x
0
∈
R
n
,
y
(
k
)
=
Q
θ
k
(
k
)
x
(
k
)
+
∑
m
p
=
1
D
θ
k
,
p
(
k
)
x
(
k
)
w
p
(
k
),
k
∈
N
K
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
(
1
)
其中的
x
(
k
)
∈R
n
,
y
(
k
)
∈R
l
分别表示该马尔科夫跳变随机系统的状态和输 出变量
,
x
(
0
)
=
x
0
∈R
n
为该系
统的初始状态
,
θ
k
为取值于
¯
N
的齐次马尔科夫 链
,
其状 态 转 移 矩阵 为
Π
=
(
λ
j
i
),
λ
j
i
=
Π
(
θ
k
+1
=
i
|
θ
k
=
j
),
w
p
(
k
)(
k
∈N
K
)
是满足
E
(
w
p
(
k
))
=0
和
E
(
w
p
(
k
)
w
p
(
s
))
=
δ
p
(
ks
)
的实随机变量序列
,
δ
p
(
ks
)
为克罗内克
(
Kronecker
)
算子
。
假设随机 变 量
{
w
p
(
k
),
k
∈N
K
}
和 马 尔 科 夫 链
{
θ
k
,
k
∈N
K
}
相 互 独 立
,
且 初 始 值
θ
0
与
{
w
p
(
k
),
k
∈
N
K
}
相互独立
。
记
F
k
为由
{
θ
k
,
x
(
k
),
k
=0
,
1
,…,
K
}
生成 的
σ
域
。
对
θ
k
=
i
,
记
A
θ
k
(
k
)
=
A
i
(
k
),
C
θ
k
,
p
(
k
)
=
C
i
,
p
(
k
),
Q
θ
k
(
k
)
=
Q
i
(
k
),
D
θ
k
,
p
(
k
)
=
D
i
,
p
(
k
)
为合适维数的矩阵
,
令
A
N
=
(
A
1
,
A
2
,…,
A
N
),
C
N
=
(
C
1
,
C
2
,…,
C
N
),
Q
N
=
(
Q
1
,
Q
2
,…,
Q
N
),
D
N
=
(
D
1
,
D
2
,…,
D
N
)。
定义
1
[
1 1
]
如果对任意的
θ
0
∈
¯
N
和任意的
k
0
∈
N
K
,
k
0
>0
,
都有
y
(
k
)
≡0
,
a
.
s
.
k
∈
N
k
0
,
则称
x
0
∈R
n
为
系统
(
1
)
的不能观测状态
,
其中
y
(
k
)
是相应于
x
0
的输出响应
。
如果除了零初始状态外不存在其他的不能观
测状态
,
则称系统
(
1
)
是精确能观测的
。
定义矩阵
X
i
(
k
),
Y
i
(
k
)(
i
∈
¯
N
,
k
∈N
K
)
及对应的矩阵组
X
(
k
),
Y
(
k
)
分别为
:
X
i
(
k
)
=
E
[
x
(
k
)
x
(
k
)
′I
{
θ
k
=
i
}
],
i
∈
¯
N
,
X
(
k
)
=
(
X
1
(
k
),
X
2
(
k
),…,
X
N
(
k
)),
Y
i
(
k
)
=
E
[
y
(
k
)
y
(
k
)
′I
{
θ
k
=
i
}
],
i
∈
¯
N
,
Y
(
k
)
=
(
Y
1
(
k
),
Y
2
(
k
),…,
Y
N
(
k
))。
而且
,
矩阵
X
i
(
k
),
Y
i
(
k
)
满足下面的方程
。
引理
1
对于系统
(
1
),
矩阵
X
i
(
k
),
Y
i
(
k
)(
i
∈
¯
N
,
k
∈N
K
)
满足下面的方程
:
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