偏序集中的下收敛与Lawson拓扑 (2012年)

本文所讨论的偏序集中的下收敛与Lawson拓扑，是计算机科学、逻辑学和数学交叉领域中的重要概念。我们需要了解偏序集（Partially Ordered Set）的基本概念，它是由一组元素构成的集合，在这组集合元素之间定义了一种偏序关系，这种关系是自反的、反对称的和传递的。 在此基础上，文章中引入了下极限的概念，它是指在偏序集中对于定向集的上确界。在序与拓扑的交融研究中，下收敛是通过下极限来定义的，它用来描述偏序集中的元素序列或网是否接近于某个值。 接着，文章讨论了由下收敛类生成的拓扑的性质，即如何通过下收敛来刻画连续偏序集的Lawson拓扑。Lawson拓扑是基于Scott拓扑和ω拓扑的组合来定义的。其中，Scott拓扑是通过偏序集中的上集以及对于定向集的上确界来定义的开集而生成的拓扑；ω拓扑则是通过补集为Scott闭集的集合所生成的拓扑。Lawson拓扑是进一步扩展Scott拓扑的一种方式，它对于研究偏序集的结构特性非常关键。 文章中的引理1表明，对于连续偏序集P中的任意元素x，由x的Scott闭集的补集（记作什x）所构成的集合族，是P上的Scott拓扑的拓扑基。这意味着什x集合在构建Scott拓扑时起到了基础的作用。 引理2定义了网（Net）的概念，它是指在偏序集P中取值的函数，并且通过在拓扑空间中的点与该点在某个子集中的闭包关系，给出了收敛到某一点的网的定义。这与传统的序列极限定义有所不同，主要是因为偏序集不一定是可数的，而网的概念可以是不可数的，更贴近偏序集的本质。 在文章中，作者进一步引入了双小于关系（记作x<<y），这是在偏序集中用来描述两个元素之间的一种特殊关系。如果偏序集P的任意元素x的每个下集的上确界都小于y，那么就称x双小于y。双小于关系和下收敛的关系被用来刻画偏序集的连续性。 文章通过对偏序集的深入研究，探讨了下收敛、双小于关系以及Lawson拓扑三者之间的关系，并且尝试通过下收敛类来刻画连续偏序集的Lawson拓扑以及交连续偏序集的连续性。这部分的研究工作有助于进一步理解Domain理论中序、收敛、拓扑之间的相互作用和渗透，并为在计算机科学、逻辑学以及数学领域中寻找新的研究方法和思路提供了一种可能性。