基于单侧加权移位的一类本性正规模型的(U+ K)轨道闭包 (2008年)

本文的主要研究内容是Hilbert空间上的算子理论，特别是单侧加权移位算子及其与本性正规算子之间的关系。文章深入探讨了在复可分无穷维Hilbert空间中，如何刻画具有不同权序列的有界本性正规单侧加权移位算子W和V的乘积T=W*V的(U+K)轨道的范数闭包。 让我们了解一些基本的定义和概念。Hilbert空间是一个完备的内积空间，复可分无穷维Hilbert空间指的是一个可以被可数稠密子集分割的无限维复数向量空间，其中的内积定义了向量的长度和两个向量之间的角度。Hilbert空间中的算子是指定义在Hilbert空间上并将其映射回自身的线性变换。在算子谱理论中，谱指的是使得特定算子方程无解的所有复数的集合，而本性谱是谱的一个子集，包含了那些与算子的核心性质相关的谱值。 本性正规算子是Hilbert空间上的有界线性算子，其自伴算子的平方和算子的平方之差是一个紧算子。本性正规算子在算子代数和谱理论中具有重要的地位。单侧加权移位算子是一种特殊类型的算子，通常用在复Hilbert空间中，它作用于一个序列空间，将一个向量中的所有成分沿一个方向移动。 文章中提到的(U+K)轨道是基于D.A.Herrero的工作，它定义为通过西算子（保持内积的算子）加上紧算子的可逆变换构成的集合。算子T的(U+K)轨道就是由形如RTR^-1的算子组成的，其中R是西算子和紧算子的和。算子T的(U+K)轨道的范数闭包是指包含(U+K)轨道的所有算子构成的最小区间，这个区间在算子的范数意义下是闭合的。 本文的核心是研究本性正规算子T=W*V的(U+K)轨道闭包。作者通过引入不同的权序列和算子的本性谱以及Fredholm指标，对这些算子的性质进行深入分析，并提出了相应的定理来刻画它们的轨道闭包。文章的结构安排是首先给出基本的定义和背景知识，然后介绍研究的动机和目的，接着给出主要的定理和证明，并在最后对相关理论进行讨论和拓展。 文章还提到了一些重要的谱理论概念，如点谱、本性谱和Fredholm定义域，以及与算子相关的Rosenblum算子，这些都是研究线性算子特别是Hilbert空间上算子的重要工具。通过这些工具，可以研究算子的谱性质和它们的代数结构，进而对算子进行分类和刻画。 由于文章的研究涉及到了复杂的数学分析和抽象的算子理论，因此读者需要有一定的泛函分析、算子理论背景知识才能较好地理解文章的内容和成果。翟发辉教授及其合作者通过这篇文章的探讨，不仅深化了我们对本性正规算子的理解，也为我们提供了研究这一领域更深入问题的工具和方法。