偏微分方程(组)守恒律的再扩充* (2008年)

偏微分方程是数学物理中用于描述物理现象变化规律的重要工具，尤其在流体力学、电磁学、热力学等领域中具有广泛的应用。守恒律是偏微分方程理论中的核心概念，它描述了物理量的守恒特性，例如能量守恒、质量守恒等。共轭方程（组）方法、微分形式吴方法和Nöether定理是解析偏微分方程中守恒律的重要手段。本文所述的偏微分方程守恒律再扩充，主要讨论如何在已有守恒律的基础上，通过特定方法导出新的守恒律，从而增强我们对物理现象的理解和数学描述。 预备知识部分首先介绍了微分方程（组）守恒律的基本概念，它是将物理世界的守恒定律如能量守恒、动能守恒等，通过数学语言进行推广和抽象的结果。守恒律在偏微分方程的研究中具有重要意义，不仅在理论研究上占有中心地位，而且在求解偏微分方程的数值方法、解的性质分析、解的渐进性、整体解的存在性证明、散射理论以及断裂和错位的力学问题、稳定性分析等方面都有着广泛的应用。Lie对称理论是构造偏微分方程守恒律的一个重要方法，它不仅能够用于构造守恒律，还能用于构造方程的精确解、简化问题的复杂度、判断方程的可积性、构造及检测数值算法，并且其应用还在不断地向其他科学领域渗透，展现出巨大的潜力。 在守恒律的构造中，Lie对称变换起到了关键作用。所谓微分方程（组）的Lie对称，是指在一定的单参数变换群作用下，解集在变换下保持不变的性质。通过对称变换作用于已知的守恒律，可以产生新的守恒律。根据Lie群理论，确定微分方程（组）对称性的问题可以转化为确定对应无穷小生成元的问题。具体地，对于给定的微分方程（组），通过对称变换生成新的守恒律需要满足一定的条件，这些条件通常涉及到微分方程的无穷小对称性和相应的Lagrangian函数。 在具体研究守恒律时，微分形式吴方法的微分特征列集算法为确定微分方程的对称性提供了有效的计算手段。该算法能够在有限步之内确定微分多项式组的一个特征列集，使得原多项式组在特征列集下余式集为零，从而使得我们可以研究微分方程的对称性以及与之相关的守恒律。 Nöether定理是关于守恒律和对称性之间关系的一个重要定理。该定理指出，对于给定的微分方程，若存在一个单参数变换群，使得变换群下微分方程的解保持不变，则可以导出一个守恒量。Nöether定理的一个重要推广是，通过非变分对称也能导出守恒律，即在变换群下满足某些特定条件时，尽管不存在对应的Lagrangian函数，也能导出守恒律。 在实现守恒律再扩充的过程中，对称变换的巧妙运用、微分方程的特征列集算法以及Nöether定理的深入分析，共同构成了对偏微分方程守恒律再扩充的理论基础。通过对这些理论和方法的研究，不仅可以拓宽对守恒律本身的理解，还能提高在复杂物理现象的数学建模和解析中解决问题的能力。本研究得到国家自然科学基金项目和内蒙古自然科学基金重点项目的资助，反映了这些科研项目在推动自然科学特别是数学物理领域发展中扮演的关键角色。