按序列分布混沌与SS混沌不等价 (2005年)

在2005年发表于南京工业大学学报的研究论文中，唐健和周小跃通过构造特定的极小子转移实例，论证了“按序列分布混沌”与“SS混沌”在一般紧系统中并不等价。这一研究成果对于理解混沌理论中的不同类型混沌具有重要意义。 在混沌理论中，“按序列分布混沌”（也称为序列分布混沌或Li-Yorke混沌）是指存在不可数个点对，这些点对在映射的迭代下，其在某个序列的分布上体现出混沌特性。具体来说，如果连续映射f在某个无穷序列下，不能区分某些点对的序列分布，那么就称映射f是序列分布混沌的。而“SS混沌”则是指存在不可数个点对，它们在映射迭代下显示出敏感依赖于初始条件的特性，即相邻点随迭代次数增多而迅速分离。 为了阐述这一关系，文章首先定义了紧度量空间中的连续映射，以及在此空间中的混沌映射。定义了紧系统、子转移、序列分布混沌和SS混沌，并引入了符号空间和转移映射的概念。通过对映射的性质进行定义和分析，提出了基本的概念定义。 文章中还引入了一些基本引理，用于证明序列分布混沌映射和SS混沌映射之间存在差异。引理展示了如何构造特定的词序列，以及这些序列如何在给定条件下保持其长度不变，或者如何扩展其长度。 具体来说，定义了两个序列分布混沌的类型，一个是按序列(Pk)分布混沌，另一个是SS混沌。按序列(Pk)分布混沌涉及到存在不可数集，对于任意两不同点对，总能找到一个序列使得它们在该序列下的极限分布相同或相异。而SS混沌则更侧重于极限集合的不可数性和迭代映射下的敏感依赖性。 通过定义，可以看出序列分布混沌的条件相对宽松，它允许某些点对在映射迭代下表现出非混沌的行为，而SS混沌则对混沌行为有着更严格的要求。文章构造的极小子转移映射，具有只在某些特定条件下才展示混沌性质的特点，这使得它能够展示出按序列分布混沌的性质，而不能同时满足SS混沌的定义。 通过这一构造，证明了在限制在测度中心上的紧系统中，按序列分布混沌和SS混沌之间存在本质差异。这为研究者提供了区分不同混沌类型的新工具，并且对混沌理论的应用研究和理论完善具有指导意义。 文章的结论对于理论数学、动力系统理论及相关的应用领域具有一定的启发性。例如，在动力系统的稳定性和预测性分析、复杂系统中的混沌控制以及混沌同步和信息处理等领域，对混沌行为的理解都需要明确不同混沌类型的区分和界定。此外，这一研究结果也对混沌在信号处理、经济模型和生物信息学等方面的应用提供了新的视角和方法。 唐健和周小跃在2005年的这篇文章为混沌理论的研究拓展了新的方向，深入探讨了不同混沌类型之间的内在联系和差异，并通过实例证明了序列分布混沌与SS混沌的不等价性，为理解混沌现象提供了重要的理论支持。