在探讨图论问题时，哈密尔顿路径和哈密尔顿回路是两个非常重要的概念。哈密尔顿路径是指在图中通过每个顶点恰好一次的路径，而哈密尔顿回路不仅要求通过每个顶点一次，还要求最后返回到起点形成一个闭合回路。图的哈密尔顿性问题，即判断一个给定的图是否存在哈密尔顿路径或哈密尔顿回路，是图论中一个经典的NP完全问题，至今没有多项式时间复杂度的算法可以解决。
本文《图的哈密尔顿性及其距离谱半径 (2013年)》关注于给出连通图包含哈密尔顿路径和泛圈图（即任意两顶点间的距离不超过2的图）的条件，并且特别引入了距离谱半径的概念来研究这一问题。
关键词中出现的距离矩阵（distancematrix）指的是图中所有顶点对之间的距离构成的矩阵，而距离谱半径（distancespectralradius）则是指这个距离矩阵的最大特征值，用符号ρ(G)表示。特征值是线性代数中的一个核心概念，是矩阵和线性变换的一个基本特征，距离谱半径是分析图结构的重要工具。
在图论的研究中，谱半径通常指的是邻接矩阵（adjacency matrix）的最大特征值，而本文特别关注距离谱半径，因为距离谱半径与图的哈密尔顿性质有着紧密的联系。文中提到的邻接矩阵A(G)，是指一个方阵，其中的元素表示图中顶点之间的邻接关系。而一个简单图G在有n个顶点的情况下，其邻接矩阵的谱半径记为μ(G)，它能够为图的哈密尔顿性质提供某些信息。
在图论研究中，完全图（complete graph）是一个重要的特殊图类，记为K_n，其中任意两个不同顶点都相互连通。在本文中提到的，如果一个图的谱半径μ(G)大于或等于n-2，并且图G包含一个添加孤立顶点或悬挂边的完全图K_(n-1)，则可以得出该图G中包含哈密尔顿路径或哈密尔顿回路的结论。这说明了谱半径在判断图的哈密尔顿性方面的重要性。
接着，文章引入了距离矩阵（distance matrix）以及距离谱半径（distancespectralradius）的概念。距离矩阵D(G)是一个n×n的方阵，其(i,j)项表示顶点v_i和v_j之间的最短路径长度。距离谱半径ρ(G)是距离矩阵D(G)的最大特征值。通过研究距离谱半径，本文给出了连通图具有哈密尔顿路径和哈密尔顿回路的条件。
文章还提到了补图（complement graph）的概念，即原图中两个顶点不连通则在补图中连通，反之亦然。补图的谱半径与原图的谱半径之间的关系也为研究哈密尔顿性提供了线索。
最终，本文通过对连通图的距离谱半径的深入分析，给出了满足一定条件下图中包含哈密尔顿路径和哈密尔顿回路的充分条件，为图的哈密尔顿性研究提供了新的视角和工具。这一结果对于图的结构理论有着重要的意义，并且可以应用于复杂网络、运筹学以及其他需要图论支持的领域中。
文章所使用的数学理论基础涉及到图论的基本概念、矩阵理论、线性代数以及谱图论等，是组合数学和应用数学中的重要分支。这些理论的应用使得研究者能够通过数学建模的方式来分析图的性质，为解决实际问题提供理论支撑。
