目的 研究股票支付红利。方法 在市场无套利条件下建立随机微分方程，运用鞅论、随机分析的方法分析并求解方程。结果 得到了支付红利的跳。扩散过程的欧式看涨期权的定价公式及欧式看涨看跌期权之间的平价公式。结论 在实际中股票价格的跳过程不一定是P0isson跳。红利率也未必是常数，其价格服从跳-扩散过程的期权定价还有待于进一步研究更为复杂情形下的期权定价。
### 支付红利的跳-扩散过程的股票期权定价
#### 摘要与研究背景
本文由刘新平和宁丽娟共同撰写，旨在深入探讨股票支付红利时的期权定价问题。研究聚焦于市场无套利条件下的跳-扩散过程，并通过构建随机微分方程来模拟这一过程。该模型考虑了股票价格可能发生的跳跃行为以及连续时间内的扩散特征，更加贴近现实市场的复杂性。
#### 方法论与理论基础
**跳-扩散过程**：在经典的Black-Scholes模型中，股票价格的变化被假设为遵循几何布朗运动，但这种模型未能充分考虑到现实中股票价格的非连续跳跃现象。因此，本文引入了跳-扩散过程来更准确地描述股票价格的变化。具体来说，股票价格的动态变化可以表示为：
\[ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t + dJ_t \]
其中，\( S_t \) 表示股票在时刻 \( t \) 的价格，\( \mu \) 是预期收益率，\( \sigma \) 是波动率，\( W_t \) 是标准布朗运动，而 \( J_t \) 是表示跳跃的部分，通常假设跳跃服从泊松过程或复合泊松过程。
**鞅测度**：鞅是一种特殊的随机过程，在一定条件下具有期望不变性。通过选择合适的概率测度（即鞅测度），可以确保期权价格在无套利的市场中具有一致性。本文采用的风险中性测度正是基于鞅测度的概念，使得定价公式在无套利条件下成立。
**红利支付**：在实际应用中，股票往往会定期支付红利，这对股票的价格以及期权定价都有着重要影响。因此，本文考虑了支付红利的情况，即股票价格不仅受到跳跃和扩散的影响，还会因为分红而导致价格下降。
#### 主要结果
通过运用鞅论和随机分析的方法，本文得到了支付红利的跳-扩散过程下欧式看涨期权的定价公式，以及欧式看涨和看跌期权之间的平价公式。这些公式为金融市场的参与者提供了重要的工具，可以帮助他们更好地理解和评估期权的价值。
### 结论与未来展望
文章最后指出，在实践中股票价格的跳跃过程不一定是泊松跳跃，红利率也可能不是常数。这意味着，股票价格服从跳-扩散过程的期权定价问题还有待于进一步研究更为复杂的情形，如随机波动率模型、时变跳跃强度模型等。
#### 未来研究方向
1. **扩展模型的复杂性**：进一步探索更加复杂的股票价格动态模型，比如将波动率视为随机变量，或者考虑跳跃频率随时间变化的情况。
2. **实证研究**：利用历史数据对模型进行校准和验证，检验模型预测能力的有效性和准确性。
3. **风险管理**：基于扩展后的模型开发更有效的风险管理策略，帮助金融机构更好地管理市场风险。
本文为支付红利情况下的股票期权定价提供了一个新的视角，同时也指出了现有模型的局限性和未来的研究方向。这对于深化我们对金融市场中期权定价机制的理解具有重要意义。
