本文研究了利用外推方法加速完全正交化方法（Full Orthogonalization Method，简称FOM）解决PageRank问题。PageRank问题本质上是计算大型、稀疏且不可约马尔科夫链的稳态概率向量问题。Google的网页排名算法（PageRank）是一种评估网页重要性的算法，其核心思想是如果一个页面被其他许多页面所链接，则该页面很重要。
文章将PageRank问题建模为一个一致的奇异线性系统(I−A)x=0，并使用FOM方法来求解。所谓的奇异线性系统指的是系数矩阵A减去单位矩阵I后，其特征值的指数为一，即index(I−A)=1。文章分析了FOM在一般奇异线性系统上的表现，并得出结论，如果FOM能够收敛，则它可以确定问题的解，而且对于目标问题不会有不幸的失败。
接着，文章提出了一种基于Ritz值的向量外推方法来加速FOM的收敛性能。这种方法直接源自于Arnoldi外推算法（Wu和Wei, 2010）。文章通过数值实验展示了所提出方法的有效性。
PageRank问题的解决还涉及到马尔科夫链、稀疏矩阵、特征值和Krylov子空间方法等概念。马尔科夫链是随机过程的一种，它的特点是未来的状态仅依赖于当前状态，而不依赖于过去的状态。在PageRank问题中，Google网页矩阵A被定义为列随机矩阵P和秩为一的矩阵vT的线性组合：A=αP+(1−α)vT。列随机矩阵P来自于实际图形矩阵P，通过对悬挂节点对应的零行以常数元素（通常取1/n）替换得到。向量v被称为个性化向量，其元素是正的，并且总和为1。它代表了原始网页上某种概率分布。阻尼因子α（0≤α<1）模拟了网络冲浪者随机链接跳跃的情况。通过上述两个参数的线性组合，强制执行了最终问题的解决方案。
本文提出的利用外推方法加速FOM来解决PageRank问题的方法，可能会对搜索引擎优化（SEO）和网络分析产生影响。如果这种加速技术能够更快速地解决大规模稀疏马尔科夫链的稳态概率计算问题，那么它可能会被集成到搜索引擎的算法中，以提高检索的效率和质量。
文章的关键词包括PageRank、FOM、Krylov子空间方法、外推和Ritz值。Krylov子空间方法是一类用于求解线性代数问题的迭代方法，它们共同的特点是迭代过程涉及到了Krylov子空间的构建。Ritz值在数值线性代数中是指近似矩阵特征值的一种方法，通过最小化残差范数来计算得到。Arnoldi过程是一种构造正交基的方法，它是Krylov子空间方法中的一种，用于解决非对称矩阵的特征值问题。
文章中提到的相关数学符号和概念，如索引、特征值、稀疏矩阵、列随机矩阵、阻尼因子、Arnoldi外推算法和Ritz值，都是计算数学和工程领域的基础知识点。这些方法和概念在工程领域、数据分析、图像处理、统计学以及网络科学中都有广泛的应用。
