第一次作业最佳答案_鲁梦洁1
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2022-08-04
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高级工程数学第一次作业
51215901023 鲁梦洁
问题：最小二乘解法等价性证明
对于最小二乘问题
bAx
有两种解法：第一种方法是转化为
bAxAA
TT
求解；第二
种解法是转化为一个求最小值的问题
2
2
min bAx
x
。求证这两种解法是等价的。
这里给出如下两种证明方式——利用数学运算和求导公式推导证明、利用最小二乘法的
几何意义和矩阵投影进行证明。
方法一：利用数学运算和求导公式推导证明
(1)
2
2
min bAx
x
bAxAA
TT
bbAxbbAxAxAxbAxbAxbAxbAxbAxxf
TTTTTTTTT
T
2
2
那么要求
xf
x
min
，那么可以对
xf
进行求导
dx
xdf
dx
bbd
dx
Axbd
dx
bAxd
dx
AxAxd
dx
xdf
TTTTTT
令
0
dx
xdf
可以得到
022 bAAxA
dx
xdf
TT
，即
bAxAA
TT
(2)
bAxAA
TT
2
2
min bAx
x
已知
bAxAA
TT
，那么
022 bAAxA
dx
xdf
TT
。
bbAxbbAxAxAxbAxbAxbAxbAxbAxxf
TTTTTTTTT
T
2
2
dx
xdf
dx
bbd
dx
Axbd
dx
bAxd
dx
AxAxd
dx
xdf
TTTTTT
022 bAAxA
TT
因此当满足
bAxAA
TT
时，
2
2
bAxxf
取到最小值，即
2
2
min bAx
x
。
彥爷
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