【线性代数练习二答案解析】
一、填空题
1. 矩阵乘法性质：若\( AB = BA \)，则\( k \)必须等于1，因为只有单位矩阵与任何矩阵相乘时结果不变。
2. 方阵\( A \)满足\( A^3 - 2A^2 + A - 2E = 0 \)，通过特征多项式计算得知，\( A \)的特征值为1和2，因此\( A^{-1} = -A^2 + 2A - E \)。
3. 矩阵\( A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} \)的逆矩阵为\( A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} \)。
4. 矩阵\( A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & 3 & 2
\end{bmatrix} \)的标准形为\( \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \)，表明\( A \)的秩为2。
5. 计算矩阵\( A \)的行列式，\( |A| = \begin{vmatrix}
4 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 4
\end{vmatrix} = 0 \)，因此其逆不存在。
6. 方阵\( A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 4 \\
x & 1 & 1
\end{bmatrix} \)的特征值为0, 1, 2，根据特征值的定义，\( det(A - \lambda I) = 0 \)，解得\( x = 1 \)。
7. 已知向量组\( \alpha_1 = \begin{bmatrix}
4 \\
1 \\
3
\end{bmatrix}, \alpha_2 = \begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
1
\end{bmatrix}, \alpha_3 = \begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end{bmatrix} \)，它们的秩为2，意味着向量组线性相关，设\( a \)为常数使得\( a\alpha_1 + b\alpha_2 + c\alpha_3 = 0 \)，通过解线性系统得到\( a = 1, b = -2, c = 1 \)。
8. 集合\( V = \{c_1\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} + c_3\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} | c_1, c_2, c_3 \in R \} \)的基是\( \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \)。
9. 齐次线性方程组\( \lambda x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \), \( 3x_1 + 2x_2 + \lambda x_3 = 0 \), \( 3x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 0 \)有非零解，说明系数矩阵的秩小于3，即\( \lambda = 1 \)或\( \lambda = 2 \)。
10. 对于3×4矩阵\( A \)，进行变换\( C_1 \rightarrow C_1 + 2C_2, C_2 \rightarrow C_2 + C_3 \)，对应的初等矩阵为\( E_{12}(2) \)和\( E_{23}(1) \)，所以变换矩阵为\( E_{23}(1)E_{12}(2) \)。
二、计算题
1. 解这个矩阵运算，涉及矩阵的乘法和转置，最终得到一个对角矩阵。
2. 这是一系列矩阵的乘法和加法运算，需要逐步计算每个步骤，最后得出结果。
三、已知矩阵\( A \)满足\( XAX^T = A \)，求矩阵\( X \)。解得\( X = \frac{1}{3} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} \)。
四、求矩阵\( A \)的特征值和特征向量，以及使\( PAP^{-1} \)为对角阵的可逆矩阵\( P \)，并计算\( A^{-1} \)。特征值为1, 3, 3，特征向量分别为\( \xi_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}, \xi_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}, \xi_3 = \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix}, \xi_4 = \begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{bmatrix} \)，\( P \)为由这些特征向量构成的矩阵，\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix} \)。
五、求向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \)的最大线性无关组，并将其他向量表示为该组的线性组合。通过高斯消元法，找到最大无关组\( \alpha_2, \alpha_3 \)，其余向量可以表示为\( \alpha_1 = -\frac{7}{5}\alpha_2 - \frac{4}{5}\alpha_3 \)。
六、求解非齐次线性方程组。首先解对应的齐次方程组，得到基础解系，然后利用非齐次方程的特解求出完整的解。
这些题目涵盖了矩阵的基本概念，如矩阵乘法、逆矩阵、特征值与特征向量、矩阵的秩、线性相关性、线性方程组的解法等核心知识点。通过解答这些问题，可以深入理解线性代数中的基本原理和计算方法。
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