2010年03月-数学类-第一届全国决赛试卷1
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2022-08-03
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1
2010 年第一届全国大学生数学竞赛决赛
（数学专业）试卷
一、填空题（共 8 分，每空 2 分）
(1) 设
0
，则
2 2
2
0
d
x x
x
e e
x
.
(2) 若关于
x
的方程
2
1
1( 0)
kx k
x
在区间
(0, )
中有惟一实数解，则常数
k
.
(3) 设函数
f x
在区间
[ , ]a b
上连续.由积分中值公式有
( )d ( ) ( ) ( )
x
a
f t t x a f a x b
.
若导数
( )f a
存在且非零， 则
lim
x a
a
x a
的值等于 .
(4) 设
( ) 6a b c
，则
[( ) ( )] ( )a b b c a c
____.
二、（10 分） 设
f x
在
( 1,1)
内有定义，在
0x
处可导，且
(0) 0f
. 证明：
2
1
(0)
lim
2
n
n
k
k f
f
n
.
三、(12 分)设
f x
在
[0, )
上一致连续，且对于固定的
[0, )x
，当自然数
n
时
( ) 0f x n
. 证明函数序列
{ ( ) : 1, 2, }f x n n
在
[0,1]
上一致收敛于 0.
四、（12 分）设
2 2
{( , ) : 1}D x y x y
，
( , )f x y
在
D
内连续，
( , )g x y
在
D
内连续有
界，且满足条件：
(1) 当
2 2
1x y
时，
( , )f x y
；
(2) 在
D
内
f
与
g
有二阶偏导数，
2 2
2 2
f
f f
e
x y
和
2 2
2 2
g
g g
e
x y
.
证明：
( , ) ( , )f x y g x y
在
D
内处处成立.
五、（共 10 分）分别设
{( , ) : 0 1; 0 1}R x y x y
{( , ) : 0 1 ; 0 1 }R x y x y
.
考虑
d d
1
R
x y
I
xy
与
d d
1
R
x y
I
xy
，定义
0
limI I
：
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