多元反函数定理的一个证明1
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2022-08-03
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多元反函数定理的一个证明
叶卢庆
*
杭州师范大学理学院, 浙江 杭州 310036
摘要: 仅利用微分中值定理, 以及微扰不改变一个可逆矩阵的可逆性, 给出了多元反函数定
理的一个证明.
关键词: 多元反函数定理; 微分中值定理; 可逆矩阵
中图分类号:O172.1
多元反函数定理是多元微分学中的核心定理之一. 利用它能直接推出隐函数定理. 其叙述
如下:
定理 1 (多元反函数定理 [1]). 设 E 是 R
n
的开集合, 并设 T : E → R
n
是在 E 上连续可
微的函数. 假设 x
0
∈ E 使得线性变换 f
′
(x
0
) : R
n
→ R
n
是可逆的, 那么存在含有 x
0
的
开集 U ⊂ E 以及含有 f (x
0
) 的开集 V ⊂ R
n
, 使得 f 是从 U 到 V 的双射, 而且逆映射
f
−1
: V → U 在点 f (x
0
) 处可微, 而且
(f
−1
)
′
(f(x
0
)) = (f
′
(x
0
))
−1
.
现在, 笔者来阐述自己发现的证明, 这种证明只用到了微分中值定理以及简单的矩阵知识.
为此, 我们先来看一个引理:
引理 1 (微扰不改变可逆矩阵的可逆性). 设 A
n,n
是一个 n 行 n 列的可逆矩阵, 其第 i 行, 第
j 列的项记为 a
ij
. 则存在 ε > 0, 使得 ∀0 ≤ δ
ij
< ε, 矩阵
B =
a
11
+ δ
11
a
12
+ δ
12
· · · a
1n
+ δ
1n
a
21
+ δ
21
a
22
+ δ
22
· · · a
2n
+ δ
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
+ δ
n1
a
n2
+ δ
n2
· · · a
nn
+ δ
nn
可逆.
证明. 由于矩阵可逆和行列式不为 0 等价, 因此我们只用证明矩阵 A
n,n
经过任何微小的扰动
后行列式不为 0 即可. 我们来看 n
2
元函数 det A
n,n
, 该函数的 n
2
个自变量分别是矩阵 A
n,n
中的各个项, 易得该 n
2
元函数关于各个自变量连续. 当矩阵 A 可逆时,det A
n,n
= 0 . 此时对
于每个自变量 a
ij
来说, 存在 ε
ij
> 0, 使得 ∀0 ≤ δ
ij
< ε
ij
, 当 a
ij
被 a
ij
+ δ
ij
替代时,det A
n,n
依然非零, 而且正负符号和原来的 det A
n,n
相比没有变号.
令 ε = min{ε
11
, ε
12
, · · · , ε
1n
, ε
21
, ε
22
, · · · , ε
2n
, · · · , ε
n1
, ε
n2
, · · · , ε
nn
}, 即可得引理.
引理 1 可以直接得到如下推论:
*
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