方博汉线代B物院2018秋期末(回忆版)1
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2022-08-03
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2018 秋线性代数期末(回忆版)
教师：⽅博汉
(1)(20 分)
!
为实数域
"
上
#
维线性空间，若正交线性映射
$%!&!
特征值为 1 的特征⼦
空间
'
维数为
#()
。证明
$*+,
-
(./
，其中
+,
-
为
!
上恒同映射，
/
为向
'
的正交
补空间
'
0
的正交投影映射。
(2)(20 分) 复数和四元数的矩阵表⽰
• 设
!
为实数域上 2 阶实矩阵空间
1
232
4"5
的⼦空间，试找到⼀组基
6)7+8
，使得
)
9
:)*)7 ):+*+:)*+7 +:+*()
• 设
!
为实数域上 2 阶复矩阵空间
1
232
4"5
的⼦空间（所以共有 8 维），试找到⼀
组基
6)7+7;7<8
使得
):)*)7 ):+*+:)*) 7 ):;*;:)*;7 ):<*<:)*)
+
2
*;
2
*<
2
*+:;:<*()
(3)(20 分) 设矩阵
=*
>
? ?
? ?
? )
) ?
) ?
? )
? ?
? ?
@
若将 A 视为实数域上正交矩阵，求⼀组正交基，使得 A 化为标准的分块对⾓化的形式(10
分)；若将 A 视为⾣矩阵，求⾣空间中⼀组正交基，使得 A 对⾓化。(10 分)
(4)(20 分) 若 A 为复数域上
#
阶⽅阵，定义
ABC
4
=
5
*
D
=
E
<F
G
EHI
*JK=K
=
2
.F
K
=
L
MF
KN
可以⽤ Jordan 标准形证明，对于任意矩阵，右边的式⼦是收敛的(你不⽤证明)。
• (10 分)证明：
ABC
O
PQ
4
=
5
R
*,AP94ABC94=55
yxldr
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