【免费】概率论习题1资源-CSDN文库

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1、设随机变量

n

X

服从几何分布，参数

/pn



=

.试证明:

n

X

n

依分布收敛于

Z

，其中

Z

服从

参数是



的指数分布.

2、设

1

,...,

n

XX

为一列相互独立的随机变量，

( ,1)

ii

XN



.令

22

1

...

n

K X X= + +

.试证明：

/2

1

exp( ) exp .

(1 2 ) 1 2

n

it

E itK

it it





=



−−



其中

22

1

...

n

  

= + +

.

3、取

n

个独立随机变量

1

,...,

n

XX

，服从

[0,1]

上的均匀分布.设

(1) 1

min{ ,..., }

n

X X X=

，

( ) 1

max{ ,..., }

nn

X X X=

，求

(1) ( )

( , )

n

Cov X X

.

4、设随机变量

X

有概率密度

1

,0

()

()

0, 0

sx

X

xe

x

fx

s

x

−−







=











.其中

0s 

是参数.给定

Xx=

时，随

机变量

Y

服从以

x

为参数的 Poisson 分布. 试计算

exp( )E itY

，并证明当

s →+

时，

Y EY

DY

−

依分布收敛于标准正态分布.

5、设

( , )XY

服从区域

{( , ):0 1,0 }D x y x y x=    

上的均匀分布，求相关系数



.

6、设

1

,...,

n

XX

是来自总体

X

的简单随机样本，且总体

X

的三阶中心等于零，四阶矩存在，

求样本均值

1

...

n

XX

X

n

++

=

与样本方差

22

1

1

()

1

n

m

m

S X X

n

=

=−

−



的相关系数.

7、设

1 2 3

,,X X X

相互独立，分别服从参数是

1 2 3

,,p p p

的几何分布，试证明：

2

1 2 2 3

1 2 3

2 3 1 2 3

()

(1 )(1 )

p p q q

P X X X

q q q q q

  =

−−

，其中

1 , 1,2,3.

ii

q p i= − =

8、设随机变量

,XY

独立，且都服从参数为

1

的指数分布，证明

XY+

与

/XY

独立.

9、证明 Jensen 不等式：假设函数



是凸函数，即

( ) (1 ) ( ) ( (1 ) )x y x y

     

+ −  + −

对所有的

(0,1)





和

,xy

成立. 则对随机变量

X

，当

, ( )E X E X



 +  +

时，

有

( ( )) ( )E X EX





.

10、设函数

F

单调不减右连续，且

( ) 1, ( ) 0FF+ = − =

，证明：函数

F

是某个随机变量

的分布函数.

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