根据给定文件中的标题、描述、标签以及部分内容，我们可以总结并深入解析以下几个主要知识点：
### 1. 事件列的概念及应用
**知识点说明：**
事件列是指一系列按顺序排列的事件，通常用来研究随机试验中多次独立重复的情况。本题目中通过构建互不相容的事件序列来探讨其数学性质。
**例题解析：**
设$\{A_j\}_{j=1}^{\infty}$是事件列，要求构造互不相容的事件$\{B_j\}_{j=1}^{\infty}$满足$\bigcup_{j=1}^{\infty} B_j = \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j$，且对于所有的$j$有$B_j \subseteq A_j$，$\bigcup_{j=1}^{\infty} (A_j - B_j) = \emptyset$。
- **解法思路：**定义$B_1 = A_1$，对于$j > 1$，定义$B_j = A_j - \bigcup_{i=1}^{j-1} A_i$。
- **解析：**这样定义下的$B_j$满足所有条件，因为$B_j \subseteq A_j$显然成立；另外，由于$B_j$是从$A_j$中减去了之前所有事件$A_i (i < j)$的影响，所以$\bigcup_{j=1}^{\infty} B_j = \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j$也成立。
### 2. 产品抽样的概率计算
**知识点说明：**
在实际生产和质量控制中，经常需要对产品进行抽样检验。当抽样时不放回时，每抽取一次后总体的状态都会发生变化。
**例题解析：**
100件产品中有3件次品，从中任取两件，求至少有一件次品的概率。
- **解法思路：**可以通过计算无次品情况的概率，再用1减去这个概率得到至少有一件次品的概率。
- **解析：**总的取法有$C_{100}^2$种，全部为合格品的取法有$C_{97}^2$种，因此至少有一件次品的概率为$1 - \frac{C_{97}^2}{C_{100}^2} = 1 - \frac{97 \times 96}{100 \times 99} = 0.0594$。
### 3. 扑克牌抽样的概率问题
**知识点说明：**
扑克牌的抽样问题是概率论中常见的应用场景之一，涉及到组合数学的基本原理。
#### 3.1 无放回抽样
**例题解析：**
从一副扑克牌的52张中无放回地任取3张，求这3张牌同花色的概率和相互不同花色的概率。
- **解法思路：**同花色的概率可以通过考虑取到同一花色的牌的组合数与总组合数之比来计算。不同花色的概率则需考虑不同花色组合的可能性。
- **解析：**
- 同花色的概率：$P(A) = \frac{4 \times C_{13}^3}{C_{52}^3} = \frac{4 \times 286}{22100} = \frac{1144}{22100}$。
- 不同花色的概率：$P(B) = \frac{4 \times 13 \times 13 \times 13}{C_{52}^3} = \frac{4 \times 2197}{22100} = \frac{8788}{22100}$。
#### 3.2 有放回抽样
**例题解析：**
从一副扑克牌的52张中有放回地任取3张，求这3张牌互不同号的概率和同号的概率。
- **解法思路：**有放回抽样时，每次抽取的结果不会影响下一次抽取，因此计算较为直接。
- **解析：**
- 互不同号的概率：$P(A) = \frac{52 \times 48 \times 44}{52 \times 52 \times 52} = \frac{106272}{140608} = \frac{13284}{17576}$。
- 同号的概率：$P(B) = \frac{52}{52 \times 52 \times 52} = \frac{52}{140608} = \frac{13}{34216}$。
### 4. 钥匙串问题
**知识点说明：**
钥匙串问题涉及随机试验中事件的概率计算，特别是当试验结果依赖于前几次试验结果时。
**例题解析：**
钥匙串上的5把钥匙中只有一把可以开房门，现在无放回地试开房门，求第三次打开房门的概率以及三次内打开房门的概率。
- **解法思路：**通过分析每次试验的成功概率，并考虑无放回抽样的特点进行计算。
- **解析：**
- 第三次打开房门的概率：$P = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$。
- 三次内打开房门的概率：$P = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{5}$。
### 5. 分配问题
**知识点说明：**
分配问题是概率论中的一个经典问题，涉及将元素按照一定规则分配到不同的组中。
**例题解析：**
有15名新研究生随机选择3个专业，每个专业5人，其中3名女生，求每个专业各得一名女生的概率以及3名女生分在同一专业的概率。
- **解法思路：**利用组合数计算符合条件的情况总数，并除以总的可能性总数。
- **解析：**
- 每个专业各得一名女生的概率：$P = \frac{C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4}{C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5} = \frac{12! \times 8! \times 4!}{15! \times 5! \times 5! \times 5!} = \frac{91}{12}$。
- 3名女生分在同一专业的概率：$P = \frac{3 \times C_{12}^2 \times C_{10}^5 \times C_5^5}{C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5} = \frac{3 \times 12! \times 10! \times 5!}{15! \times 5! \times 5! \times 5!} = \frac{91}{6}$。
### 6. 几何概率问题
**知识点说明：**
几何概率问题涉及利用几何图形来解决概率问题，常常需要考虑图形中的特定区域或边界条件。
**例题解析：**
直径为1的硬币随机地落在打有方格的平面上，问方格的边长为多少才能使硬币和网格不相交的概率小于0.01。
- **解法思路：**通过分析硬币与网格不相交的条件，并结合概率计算得出方格边长的范围。
- **解析：**设方格边长为$x$，当硬币中心位于距离边界$x-1$内的区域内时，硬币与网格不相交，此区域面积为$(x-1)^2$。总区域面积为$x^2$，因此不相交的概率为$\frac{(x-1)^2}{x^2}$。要使该概率小于0.01，则有$\frac{(x-1)^2}{x^2} < 0.01$，解得$x > 10.9$。
通过以上解析可以看出，这些题目覆盖了概率论中的多个核心概念，包括事件列、抽样、分配以及几何概率等，这些知识点在实际问题解决中具有广泛的应用价值。
