微微微分分分几几几何何何第第第一一一周周周作作作业业业
教材P5-6.
2. 证明一般参数下曲线x(t) 的曲率和挠率的计算公式是:
k(t) =
|x
0
× x
00
|
|x|
3
; τ(t) =
(x
0
, x
00
, x
000
)
|x
0
× x
00
|
2
.
3. 证明:圆柱螺线的主法线与它的中心轴正交,它的从法线与它的 中心轴作成
定角,它的曲率中心轨迹仍然是圆柱螺线。
4. 设x(s)是单位球面上以弧长为参数的曲线,证明:存在向量e(s), f (s), g(s)和
函数λ(s),使得
˙e = f
˙
f = −e + λ(s)g
˙g = −λ(s)f.
5. 设x(s) = (x
1
(s), x
2
(s))是平面上以弧长为参数的曲线,{T (s), N(s)}是它
的Frenet标架,证明
N(s) = (− ˙x
2
(s), ˙x
1
(s)), ¨x(s) = k
r
(s)(−x
2
(s), x
1
(s)).
6. 证明:
(1)除直线外,一条曲线的所有切线不可能同时是另一条曲线的切线。
(2)曲率和挠率都是(非零)常数的正则曲线必定是圆柱螺线。
8. 证明:
(1)任何平面曲线都是Bertrand 曲线。
(2)若kτ 6= 0, 则空间曲线为Bertrand曲线的充要条 件是存在常数λ(6= 0) 和µ 使
得λk + µτ = 1.
9. 求满足条件τ = ck (c为非零常数,k > 0)的曲线。
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