二维离散傅里叶变换1
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2022-08-08
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°
( ) ( )
( )
2
, = ,
j i Z j T
i j
H f i T j Z e
p n m
m n
+¥ +¥
- D + D
=-¥ =-¥
D D
å å
对单个周期的信号进行取样，
[ ] [ ]
0,1/ 0,1/T Z
m n
Î D Î D，
等间距去
M N´
个样本。
= , 0,1, 2, , 1
= , 0,1, 2, , 1
m
m M
M T
n
n N
N T
m
n
= -
D
= -
D
L
L
得到对应的结果记为
( )
1 1
2
0 0
1 1
2
0 0
,
=
nk ml
M N
j
N M
mn
l k
nk ml
M N
j
N M
lk
l k
F f l T k Z e
f e
p
p
æ ö
- -
- +
ç ÷
è ø
= =
æ ö
- -
- +
ç ÷
è ø
= =
= D D
å å
å å
(1.1)
1 1
2 2
0 0
, & &
=
0, ||
nk ml ns mr
M N
j j
N M N M
m n
MN k s l r
e e
k s l r
p p
æ ö æ ö
- -
+ - +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
= =
= =
ì
í
¹ ¹
î
å å
证明：
( ) ( )
( )
( )
1 1 1 1
2
2 2
0 0 0 0
1 1
2
2
0 0
=
n k s m l r
nk ml ns mr
M N M N
j
j j
N M
N M N M
m n m n
n k s
m l r
M N
j
j
N
M
m n
e e e
e e
p
p p
p
p
- -
æ ö
æ ö æ ö
- - - -
+
ç ÷
+ - +
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
= = = =
-
-
- -
= =
=
å å å å
å å
由于
( )
( )
1
2
0
1
2
0
,
=
0,
,
=
0,
m l r
M
j
M
m
n k s
N
j
N
n
M l r
e
l r
N k s
e
k s
p
p
-
-
=
-
-
=
=
ì
í
¹
î
=
ì
í
¹
î
å
å
得证。
由
( )
,f t z
的
M N´
个样本集合
( )
{ }
,
lk
f f l T k Z= D D
得到一个与输入样本集合离散傅里
叶变换对应的
M N´
个复数离散值的样本集合
{ }
mn
F
，反之给定
{ }
nm
F
，通过傅里叶反变
换可以得到
{ }
kl
f
。
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