【免费】第四周训练题解答1资源-CSDN文库

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第四周习题解答

一、已知



是平面

:0Ax By Cz D    

上的一条光滑闭曲线, 其中

2 2 2

1A B C  

,



所围成的

区域



的面积为

S

.求证:

1

( )d ( )d ( )d

2

S Bz Cy x Cx Az y Ay Bx z



     



证明：

,,P Bz Cy Q Cx Az R Ay Bx     

，则

2 , 2 , 2

R Q P R Q P

A B C

y z z x x y

     

     

     

由斯托克斯公式，得

1

( )d ( )d ( )d

2

Bz Cy x Cx Az y Ay Bx z



    



d d d d d dA y z B z x C x y



  



2 2 2

2 2 2

dd

A B C

S S S

A B C





  



 

.

二、设

n

为光滑闭曲面



的外法向量,

a

为常向量.求:

cos( , )dn a S





.

解: 设

00

1 1 1

11

(cos ,cos ,cos ), (cos ,cos ,cos )n n a a

na

     

   

，则

00

1 1 1

cos( , ) cos( , ) cos cos cos cos cos cosn a n a

     

   

.

于是，

 

1 1 1

cos( , )d cos cos cos cos cos cos dn a S S

     



  

 

 

1 1 1

cos d d cos d d cos d dy z z x x y

  



  



由高斯公式，可得

1 1 1

cos cos cos

cos( , )d d 0n a S v

x y z

  





  

   



  



 

，

其中



是由



围成的区域.

三、设函数

( , )f x y

在闭区域

22

:1D x y

上有二阶偏导数，且

22

22

22

( , ) ( , )

e

xy

f x y f x y

xy









.求:

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