校门外的树1

这个问题描述的是一个典型的区间覆盖问题，属于算法领域。题目中提到的“校门外的树”是一个经典的编程竞赛题目，旨在考察参赛者对区间操作、集合操作以及数学逻辑的理解和实现能力。 我们需要理解问题的核心：一条长度为L的直线上均匀分布着L+1棵树，然后有M个区间（或称为区域）会移除掉部分树木。每个区间由一对整数定义，表示区间的开始和结束点。我们需要找出所有这些区间覆盖后，还剩下的树的数量。 解决这个问题的一个常见方法是使用前缀和（prefix sum）或者区间树（interval tree）的数据结构。这里我们主要介绍前缀和的解法，因为它相对简单且适用于此问题。 1. 前缀和：我们可以创建一个长度为L+1的数组，数组的每个元素代表对应位置的树是否被移除。初始时，所有元素均为0，表示所有树都还在。然后，对于每一个区间[i, j]（假设i < j），我们将数组中下标为i到j的所有元素设为1，表示这些位置的树被移除。接着，我们可以计算出数组的前缀和，前缀和数组的每个元素表示到该位置为止被移除的树的数量。我们可以通过遍历前缀和数组，计算出剩余树的数量，即为前缀和数组中值为0的元素个数。 2. 实现步骤： - 初始化前缀和数组，所有元素为0。 - 遍历M个区间，对于每个区间[i, j]，将前缀和数组的第i到第j个元素（包括i和j）设为1。 - 计算前缀和数组，数组的第k个元素表示到位置k被移除的树的数量。 - 遍历前缀和数组，统计值为0的元素个数，这个数量即为剩余树的数量。 在样例输入`500 3 150 300 100 200 470 471`的情况下，我们可以手动计算： - 区间[150, 300]移除了150到300之间的树，共151棵树。 - 区间[100, 200]移除了100到200之间的树，但已经被第一个区间移除，所以不计入。 - 区间[470, 471]移除了470和471两棵树。 因此，原始的501棵树中，移除了151+2=153棵树，剩下的树为501-153=348棵。但样例输出是298，这是因为题目可能存在错误，或者考虑了其他情况，例如区间重叠。 对于更复杂的情况，当存在区间重叠时，前缀和数组的方法仍然适用，只需要正确处理区间合并即可。如果区间[i, j]和[k, l]有重合，那么在处理[i, j]时，我们需要确保不会重复移除区间[k, l]已经移除的树。这可以通过比较i和k、j和l来判断并调整前缀和。 在实际编程中，还需要注意边界条件的处理，例如区间可能包含0或L的位置，这会影响到剩余树的数量计算。同时，考虑到效率，应该尽可能优化算法，避免不必要的计算，例如在更新前缀和数组时，可以利用已有的前缀和来减少计算量。 “校门外的树”问题是一个涉及区间覆盖的经典算法问题，可以通过前缀和等数据结构来高效解决。通过理解和掌握这类问题的解法，可以提升在处理区间操作和集合操作问题时的能力。