2013--A卷1

线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、线性映射、矩阵和线性方程组等概念。在本题目中，涉及到的知识点包括反对称矩阵、矩阵的线性运算、矩阵的逆、矩阵的伴随矩阵、向量线性无关、秩、特征值、极大无关组、线性方程组的解以及矩阵运算。 1. 反对称矩阵是指满足A^T = -A的矩阵，其中A^T是A的转置。对于所有n阶反对称矩阵，其关于矩阵的线性运算构成的线性空间的维数为n(n+1)/2。这是因为反对称矩阵的每一项元素都有一个对称位置的负元素，除了对角线元素为0，因此它的自由度等于上三角形元素的个数，即n+(n-1)+...+1=n(n+1)/2。 2. 矩阵的伴随矩阵A*是通过取矩阵A的代数余子式按元素的逆序排列得到的，即Aij的代数余子式记作Mij，那么A*=((-1)^(i+j)Mij)。若n阶矩阵A可逆，即存在A^-1使得AA^-1=AA^-1=E（单位矩阵），则其伴随矩阵A*也可逆，因为|A|≠0（行列式不为0），此时A*的逆矩阵为|A|^-1A^T，即(A*)^-1=|A|^-1A^T。 3. 向量组线性无关意味着没有向量可以通过线性组合表示为零向量。如果向量组α1, α2, ..., αs线性无关，且k1, k2, ..., ks是不全为零的实数，那么线性组合k1α1+k2α2+...+ksαs≠0，除非所有ki均为零。 4. 对于5元齐次线性方程组Ax=0，基础解系包含的向量个数等于未知数的数量减去矩阵A的秩。设R(A)为矩阵A的秩，如果1α, 2α是其基础解系，这意味着至少有两个线性无关的解，所以R(A)小于5，因此秩R(A)可能为1或2，但不能是3或4，选项(B)和(C)被排除，但题目没有足够的信息确定是1还是2。 5. n阶方阵A具有n个不同的特征值意味着A是可对角化矩阵，但这并不保证A与对角阵相似。只有当A的特征向量线性无关时，A才与对角阵相似。因此，具有n个不同特征值是A与对角阵相似的充分但非必要条件，对应选项(B)。 6. 极大无关组是指在一组向量中，任何其他向量都可以表示为此组向量的线性组合，但组内的向量互相不可表示为对方的线性组合。给定向量α1, α2, α3, α4，(C)1α, 2α, 4α是一个极大无关组，因为α3可以表示为α1和α4的线性组合，而α2不能表示为其他两者的线性组合。 7. 如果线性方程组Ax=b有解x1和x2，且x1≠x2，那么A不可能是常数矩阵（如A=0），因为那样的话，所有解都会是相同的。A是否为1依赖于b是否为零向量，但题目中并未给出b的信息，所以无法确定A的具体值。 8. 矩阵乘法是不交换的，但可以通过左乘一个可逆矩阵P来改变矩阵A的形式。给定A和P，我们可以找到B使得BAP=1001010100，这表明AP=B^-1。通过计算，可以得出B的值，但由于题目中没有给出完整的计算过程，这里只给出了转换的原理。 此外，题目还涉及行列式的计算，但具体内容没有给出，通常涉及展开法则和行（列）变换。要求解满足3AX=XB+3A的矩阵X，可以通过增广矩阵和高斯-约旦消元法求解。 对于线性方程组1232312343133(1)0xxxax，我们需要确定a的值，使得该方程组有唯一解、无解或无穷多解。这需要分析系数矩阵的秩与未知数的关系。 总结这些知识点，我们涵盖了线性空间的维数、矩阵的性质、线性相关与无关、秩、特征值、矩阵运算和线性方程组的解。