2018-19年秋季计算方法B期末1

在2018-19年秋季的计算方法B期末考试中，试题涵盖了广泛的计算理论、算法分析和矩阵论知识。下面将详细解释这些题目所涉及的知识点。 1. **判断题**：这部分主要测试学生对课程基础知识的理解，可能包括算法的正确性、效率、数学概念的准确性等。例如，可能会考察数据结构的特性（如栈和队列的操作）、排序算法的时间复杂度（如冒泡排序、快速排序）以及矩阵运算的基本性质。 2. **多步算法分析**：这道题要求分析给定的迭代公式`wi+1 = 4wi − 5wi−1 + 2h(f(ti, wi) + 2hf(ti−1, wi−1))`的稳定性。稳定性通常涉及到算法在小扰动下的行为，比如当输入略有变化时，输出的变化程度。这可能需要应用线性代数中的概念，如特征值和特征向量，以及微分方程的稳定性理论。 3. **矩阵的Jordan标准形**：将矩阵`(2112)`写成`PDP^-1`的形式，即要求进行行初等变换将其化为Jordan标准形。这里P是变换矩阵，D是对角矩阵，包含矩阵的特征值。这个过程涉及到特征值的计算和初等行变换的应用。 4. **范数的证明**：要求证明`∥·∥F`是一个范数。一个函数要成为范数，它必须满足三个条件：非负性、齐次性和三角不等式。需要根据这些条件对给定的函数进行分析。 5. **梯度下降法**：利用梯度下降法求解`cos(x + y) − sin(x) − sin(y)`的最小值，起始点为`(0, 0)`，迭代一步。梯度下降法是优化问题中的基本算法，它沿着目标函数梯度的反方向更新参数，以逼近局部或全局最小值。 6. **二次型的最优化**：证明如果`x∗`是线性方程`Ax + b = 0`的解，其中`A`是正定矩阵，那么`x∗`也使二次型`g(x) =⟨Ax, x⟩ − 2⟨x, b⟩`达到最小值。这涉及到正定矩阵的性质和二次函数的最小值。 7. **矩阵特征值和特征向量**：已知`An×n`有特征值`λ1`及对应的特征向量`v1`，求证`B = A - λ1v1vT1vT1`的n个特征值分别是0和`A`除`λ1`外的其他n-1个特征值。这需要利用特征值和特征向量的性质，以及矩阵运算与特征值的关系。 以上是题目所涵盖的主要知识点，涉及的内容包括但不限于算法分析、矩阵理论、线性代数、微积分、数值分析和优化理论。理解和掌握这些知识对于学习计算方法至关重要。复习时，应重点关注算法的分析与设计、矩阵的运算、特征值和特征向量的性质，以及优化问题的解决策略。