2002～2003A答案1
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2002～2003 学年第二学期《高等数学》期末考试试题 A 卷答案
一、填空题：1、
π
3
128
；2、 )0,0(f ；3、1；
二、选择题：1、D；2、B；3、A;
三、解：（1）
∫∫ ∫
===
1
00
1
0
2
3
1
x
dxxdyxdxI ；
（2）
∫∫ ∫ ∫ ∫
===
1
00 0
1
00
6532
364
1
4
1
x
xy
x
dyydxxdzzdyyxdxI
四、解：设 121744),,(
222
−+−+= yyzxzyxF 故有
zFyFxF
zyx
8,234,8 =+
−
=
=
0
M 点处的切平面的法向量为
}0,2,1{16}0,32,16{
2
−
=
−
=n
G
故旋转曲面 0),,( =zyxF 在点
0
M )0,1,2( 处的切平面方程为 02
=
− yx
五、解：由
⎩
⎨
⎧
+−=
=+
22
22
2 yxaz
axyx
消去 z ，得投影柱面
222
ayx =+ ，因此它在
x
oy面上的
投影域为
D ：
222
ayx ≤+ ，于是区域
Ω
的体积：
∫∫ ∫ ∫
=−−=
+
−+−=
D
a
ardr
a
r
raddxdy
a
yx
yxaV
π
πθ
2
00
3
222
22
6
5
]2[]2[
六、（1）令
)1(arctan
1
,arctan
1
,
2222
xyzz
z
y
y
Rzxy
z
y
z
QyzxP ++=−== ，
故有
2
2xyz
x
P
=
∂
∂
，
2
2
2
2
)(1
11
xyz
z
y
z
y
Q
−
+
=
∂
∂
， )21(
)(1
11
2
2
xyz
z
y
z
y
R
++
+
−=
∂
∂
，
故有
xyz
z
R
y
Q
x
P
21)( +=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
所以
Fdiv
G
|
)1,1,1(
3|)21(|)(
)1,1,1(
111
=+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= xyz
z
R
y
Q
x
P
），，（
（2）记
Ω 为 Σ 所围区域，则有高斯公式得：
∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫
Ω ΩΩΩ
=+=+=
ϕθϕ
ddrdrxyzdxdydzdxdydzdxdydzxyzI sin2)21(
2
∫∫∫
=
π
π
ϕϕθ
2
0
4
0
2
2
sin
a
drrdd
π
)22(
3
7
3
−= a
(由于
Ω 关于
x
oz
面对称,
x
yz 是域
Ω
上的奇函数,故有
∫∫∫
Ω
= 0xyzdxdydz )
七、解：由题设知，
]))([()
1
1(
2
1)(
2
x
y
xx
y
x
x
x
ϕ
ϕ
−
∂
∂
=+=
∂
∂
，故曲线积分
()
yxx
x
y
xxI
B
A
d)(d)(
ϕϕ
+−=
∫
与路径无关。
所以
)1(
2
1
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
)]
2
1
2
1
([
2
0
),(
)0,1(
−=−=−+−−=
∫∫
π
π
π
π
ππ
dydy
x
xdx
x
y
x
xxI
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