最优刀具更换周期上界_检查间隔下界的证明1

【最优刀具更换周期上界_检查间隔下界的证明1】 该文主要研究的是一个与生产制造相关的数学优化问题，具体来说是关于刀具更换周期和检查间隔的优化策略。在制造业中，刀具的寿命直接影响产品质量和生产成本。文章讨论的是在1999年大学生数学建模竞赛A题中的一个问题，目标是找到最佳的刀具更换策略，以最小化每个合格产品的平均生产费用。 刀具发生故障的概率被描述为一个截尾正态分布，其中参数Ρ=196，Λ=600。当刀具发生故障时，生产的所有零件都成为不合格品，而在正常状态下，生产的产品都是合格的。问题的关键在于确定最佳的检查间隔（n）和刀具更换周期（T），使得在刀具寿命（X）小于T时进行故障后更换，而在X大于等于T时进行预防性更换，以此达到最小化成本的目标。 目标函数G(T, n)定义了总成本，它包括固定成本（k）、每次更换刀具的成本（tTn）、单个不合格产品的成本（d）以及与检查相关的成本（fpT+tn）。其中，n+1/2表示在T之前刀具故障产生的不合格产品的均值。 作者首先证明了一个引理，即对于正态分布N(Λ, Ρ^2)，函数5(x) = x[1-F(x)]在[Λ, +∞)上是减函数，并且其最大值为Λ^2/2。这一引理有助于后续对检查间隔下界的研究。 基于这个引理，作者得出推论，当F(x)是N(600, 196^2)的分布函数时，函数5(x)在[470, +∞)上也是减函数。这是由于给定的参数Λ=600和Ρ=196满足引理中的条件。 接着，作者提出了定理1，指出在问题1中，检查间隔的最优解n应满足n≥2tΛ^2/f。证明过程涉及到了目标函数G(T, n)关于n的二阶导数5[G (T , n) ]5n，并分析了其符号以确保总成本随着检查间隔的增加而减少。在这个过程中，引入了一个中间变量m_T，它与T和Λ的关系决定了总成本的变化趋势。 通过对m_T的分析，作者表明在T≤2Λ时，m_T非负，这对应于刀具更换周期的合理范围。然而，当T>2Λ时，m_T可能为负，但这在实际问题中不太可能发生，因为通常Λ（刀具的平均寿命）会大于3Ρ（刀具寿命的标准差的三倍），这相当于没有预防性更换的情况。 通过求解不等式-tTn^2 (1-p_T) + 1/2 fp_T - tn^2 (Λp_T - m_T) < 0，可以得到满足成本最小化的检查间隔n的下界。这个不等式揭示了在给定的刀具寿命分布和成本结构下，检查间隔和更换周期的最优策略。 总结来说，这篇论文提供了在特定的刀具故障模型下，如何寻找最小化生产成本的刀具更换周期和检查间隔的方法。作者通过数学分析和证明，得出了检查间隔的最优解n至少为2tΛ^2/f，这对于实际工业生产中的刀具管理和维护具有重要的指导意义。