谭小江复变2017春期中1
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2022-08-03
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《复变函数》期中试题 本试卷共 7 道大题，满分 100 分
1. 设 f(x, y) 是 (0, 0) ∈ R
2
= C 邻域上关于实变量 (x, y) 二阶连续可导
的函数。用复变量 z = x + iy 和 ¯z = x − iy 及其相关的一阶、二阶偏
导给出这一函数在 z = 0 邻域上的 Taylor 展开。（20 分）
2. 证明复函数 (x
2
+ 2y) + i(y − 3x) 不是复变量 z = x + iy 的解析函
数。构造一个尽可能简单地二阶多项式函数 p(x, y) + iq(x, y)，使得
(x
2
+ 2y) + i(y − 3x) + p(x, y) + iq(x, y) 是复变量 z = x + iy 不为常
数的解析函数。（20 分）
3. 表述 Cauchy 定理（不证）。利用 Cauchy 定理证明解析函数的 Cauchy
积分公式。（15 分）
4. 令 D = {x + iy|y > 0} 为上半平面，证明 D 到自身，并且将 i ∈ D
映到 i ∈ D 的解析同胚全体构成的群可以用一个实参数来表示，给出
群运算（同胚的复合与同胚的逆）与参数的关系。（15 分）
5. (a) 给出单位圆盘 D(0, 1) 到上半平面 D = {x + iy|y > 0} 的所有解
析同胚映射。证明你的结论；
(b) 证明在这些同胚中，存在唯一的一个同胚 f(z)，满足 f(0) =
i, f
′
(0) > 0。（15 分）
6. 设 D = {z|1 < |z| < 2} 为圆环，f(z) 是 D 上的解析函数，证明 f(z)
可以分解为 f(z) = f
1
(z) + f
2
(z) 的形式，其中 f
1
(z) 和 f
2
(z) 分别
是圆盘 D(0, 2) = {z||z| < 2} 和扩充复平面
¯
C = C ∪ {∞} 中取区域
¯
C − D(0, 1) 上的解析函数。如果上面分解中要求 f
1
(0) = 0，问这样
的分解是否是唯一的，为什么？（8 分）
7. 令 D = {z = x + iy||z| < 1, y > 0} 为单位圆盘的上半部分，设 f(z)
是 D 上解析，D 上连续的函数，并且当 z = x 为实数时，f(z) 也
是实数。在单位圆盘 D(0, 1) 上定义函数 g(z) 为：g(z) = f (z)，如果
z = x + iy 满足 y ≤ 0;g(z) = f(¯z)，如果 z = x + iy 满足 y < 0，证
明 g(z) 是单位圆盘 D(0, 1) 上的解析函数（本题的结论如果直接引用
定理，请给出定理的证明。证明中用到的其他定理只需表述，不需证
明）（7 分）
(编辑：伏贵荣 2017 年 4 月，任课老师：谭小江)
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