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GCN原理浅析

【参考文献】

如何理解 Graph Convolutional Network（GCN）？@superbrother

拉普拉斯矩阵与拉普拉斯算子的关系

Chebyshev多项式作为GCN卷积核

图卷积网络(GCN)原理解析

1. 图信号

对于图，通常使用其邻接矩阵来描述。但从信号处理的角度，图可以看做是一种信号，假设一

张图有个节点，那么图信号就是一个维的向量，这个向量的每个维度即为图在每个节点的取值（特

征），即。

如果每个节点的特征是一个多维的向量，其维度为，那么图信号的维度就是，这里可以与多通道图

像进行类比来理解，在每个节点/像素位置处，输入特征具有多个通道。

2. 拉普拉斯矩阵

设图的邻接矩阵为，度矩阵为，则其拉普拉斯矩阵定义为。

对于拉普拉斯矩阵，其元素满足：

其中代表节点的度。

在GCN中常会使用另一种归一化形式的拉普拉斯矩阵，定义为

其元素满足：

即对角元被归一化。

GCN中使用拉普拉斯矩阵的原因：

拉普拉斯矩阵是对称矩阵，可以进行特征分解（谱分解），这就和GCN的spectral domain对应上了

拉普拉斯矩阵只在中心顶点和一阶相连的顶点上（1-hop neighbor）有非0元素，其余之处均为0

通过拉普拉斯算子与拉普拉斯矩阵进行类比（为了导出图上的傅里叶变换）

拓展部分：拉普拉斯算子与拉普拉斯矩阵的关系

结论：

拉普拉斯矩阵就是图上的拉普拉斯算子，或者说是离散的拉普拉斯算子。

如果是欧式空间中的二阶可微实函数，那么就是在欧式空间中求其二阶微分（散度），其中是拉普拉

斯算子。

如果是图上定义的一组高维向量，那么就是在图空间中求其二阶微分（散度），其中是图的拉普拉斯

矩阵。

解释：

直接套用导数的定义，无法直观理解拉普拉斯矩阵的物理含义。从散度入手，才是正确的打开方式。

梯度（矢量）：梯度” “的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最

大值，即函数在该方向处沿着该方向（此梯度方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。假设一个三

元函数在空间区域内具有一阶连续偏导数，点，称向量

为函数在处的梯度，记为或。

其中：称为（三维）向量的微分算子或 Nabla 算子。

散度（标量）散度 " " （divergence）可用于表针空间中各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意

义是场的有源性。当，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当表示该点有吸

收能量的负源（洞或汇）；当，表示该点无源。

拉普拉斯算子：拉普拉斯算子（Laplace Operator）是维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯

度的散度： grad

笛卡尔坐标系下的表示法：

维形式。

下面推导离散函数的导数：

二阶微分为：

则我们可以将拉普拉斯算子也转化为离散形式（以二维为例）：

现在用散度的概念解读一下：

时，表示该点有散发通量的正源（发散源）。如下图中绿圈所示，即为散度大于0的点，其附近

的矢量场情况。

时，表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）。如下图中红圈所示，即为散度小于0的点，其附

近的矢量场情况。

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