第7章习题1

【知识点详解】 1. 二次型秩的概念：二次型的秩是指其系数矩阵在经过行初等变换后的秩，它反映了二次型所含平方项的独立性。在本例中，二次型\(f(x_1, x_2, x_3) = ax_1^2 + 2x_1x_2 - x_1x_3 + 2x_2^2 - (1-a)x_2x_3 - x_3^2\)的秩为2，意味着存在两个平方项是线性相关的。 2. 正交线性替换与标准形：实二次型可以通过正交线性替换化为标准形，即对角形，其中对角线上的元素为该二次型的平方项系数的主子式的符号平方根。例如，如果\(f(X)\)化为\(f(Y)\)的标准形为\(y_1^2 - y_2^2\)，则\(g(X)\)和\(h(X)\)也有类似的转换规则。 3. 二次型在不同正交替换下的标准形：当二次型\(f(x_1, x_2, x_3)\)在正交替换\(S\)下变为\(y_1^2 - y_2^2\)，而\(Q\)是\(S\)的转置的逆矩阵，那么在\(Q\)下的标准形可以推导出来。这里需要利用正交矩阵的性质来确定具体形式。 4. 实二次型的标准化与正交矩阵：对于给定的二次型，通过正交矩阵\(Q\)的替换可以将其转换为标准形，标准形的形式取决于原二次型的系数。这里需要计算出\(a\)的值以及满足条件的正交矩阵\(Q\)。 5. 实对称矩阵的性质与二次型的规范形：实对称矩阵\(A\)的幂次运算与\(A\)的谱（即特征值）有关。如果\(2A+E\)和\(4A\)都是可逆的，可以推断\(A\)的特征值及其对应的二次型的规范形。 6. 二次型的秩、正惯性指数与负惯性指数：秩表示二次型的自由度，正（负）惯性指数是二次型中正（负）平方项的个数。根据二次型的系数可以确定这两个指数。 7. 实二次型的负惯性指数与符号差：负惯性指数是负平方项的数量，符号差是正负惯性指数的差。通过二次型的系数可以计算这两个量。 8. 二次型的负惯性指数与参数的关系：当负惯性指数为1时，二次型中必须有一个负的平方项，因此可以确定参数\(a\)的取值范围。 9. 合同矩阵与规范形：如果两个实对称矩阵合同，它们所对应的二次型有相同的规范形。由此可以确定给定实对称矩阵\(A\)的二次型的规范形。 10. 等价、相似与合同关系：等价矩阵意味着它们的行列式相同，迹相同，且可以互相相似；相似矩阵意味着它们的特征值相同；合同矩阵意味着它们对应的二次型有相同的规范形。分析这些关系可以帮助我们理解矩阵的性质。 11. 矩阵的合同关系：合同矩阵必须是实对称矩阵，并且存在可逆矩阵使得两矩阵相乘的结果是对角矩阵。这里需要找到与给定矩阵\(A\)合同的矩阵。 12. 矩阵的合同与相似关系判断：通过比较矩阵的行列式、迹、特征值等性质，可以判断它们之间是否合同或相似。 13. 正定二次型的定义与参数范围：正定二次型意味着所有特征值都大于零。根据这个条件，我们可以确定参数\(k\)的取值范围，以确保二次型正定。 14. 正定矩阵的识别：正定矩阵的特征值必须全部为正，通过计算并分析矩阵的特征值可以判断哪个矩阵是正定的。 15. 正定矩阵的性质：正定矩阵的加法、乘法（包括乘以其逆）结果仍然是正定的。这里需要验证选项中的每个表达式是否满足正定矩阵的性质。 16. 实二次型的秩、正交替换与标准形：首先确定实数\(a\)的值，然后找到一个正交矩阵进行替换，将二次型化为标准形。同时，计算秩、正负惯性指数和符号差。 17. 二次型的特征值与规范形：通过解二次型的矩阵的特征方程得到特征值，然后根据规范形的要求确定参数\(a\)的值。 18. 实对称矩阵的元素与二次型的特征值：给定矩阵\(A\)的元素会影响二次型的特征值，进而影响其规范形。通过矩阵\(A\)的元素可以计算出二次型的特征值，从而找出\(a\)的值。 以上内容详细阐述了二次型的相关概念，包括秩、正交替换、标准形、负惯性指数、符号差、正定性、合同关系、相似关系、特征值和规范形等，这些都是线性代数和矩阵理论的重要组成部分。