概率论与数理统计复习题1

【概率论与数理统计复习题1】 一、填空题 1. 随机事件A、B、C中至多有一个发生可以表示为 `∁A∪∁B∪∁C` 或者 `A' ∪ B' ∪ C'`，其中`∁`表示补集。 2. 若P(A)=0.6, P(B|A)=0.4, P(B)=0.4，则P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B) = 0.6 * 0.4 / 0.4 = 0.6。 3. 第3次才取得正品的概率是正品未在前两次出现的概率乘以第三次取到正品的概率，即 `(95/100)^2 * 5/100 = 0.004225`。 4. 随机变量X的分布律为 P(X=k)=0.4, k=0, 0.1, 0.3, 0.2，随机变量Y的分布律未知，但可推断X和Y独立时，12XY的分布律为P(12XY=k,l)=P(X=k) * P(Y=l)，需补充Y的分布律才能具体计算。 5. 随机向量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)已给出，X的边缘分布函数为F_X(x) = F(x, +∞)，由F(x,y)计算可得。 6. X在(1,3)上均匀分布，3次独立观测至少1次大于2的概率是1减去所有观测值都不大于2的概率的3次方，即`1 - (2/3)^3`。 7. 当样本量n为2时，样本均值X的抽样分布为正态分布，均值为总体均值μ，方差为总体方差σ^2/n。对于n=10，X的抽样分布仍是正态，但方差为σ^2/10。 8. 2S/n服从自由度为n-1的卡方分布，对于n=10，2S/10服从自由度为9的卡方分布。 9. 设21)(XXnii ￿￿￿￿是2￿ 的无偏估计，根据矩估计法，a应满足E[21)(XXnii ￿￿￿￿]=2，计算得出a的具体值。 10. 95%置信区间的计算公式为`(x̄ - t_{0.025}(n-1)s/√n, x̄ + t_{0.025}(n-1)s/√n)`，其中x̄是样本均值，s是样本标准差，n是样本容量，t分布的临界值由t分布表或计算器得出。 二、案例分析 公司产品次品率为5%，合格品误判概率为0.02，次品误判概率为0.03。求产品被检查后被认为是合格产品且实际也是合格产品的概率，需用到条件概率和全概率公式。 三、寿命问题 1. 寿命X的概率密度函数为f(x)，求系数a，需积分f(x)dx=1来确定。 2. 产品寿命超过5000小时的概率为`∫_5000^∞ f(x)dx`。 3. 至少有一件产品寿命超过5000小时的概率，可用伯努利试验的概率计算，即1减去所有产品寿命都不超过5000小时的概率的10次方。 四、二维随机变量 1. 求P(X+Y>1)，需计算积分。 2. 边缘密度函数`f_x(x) = ∫_∞^∞ f(x,y) dy` 和 `f_y(y) = ∫_∞^∞ f(x,y) dx`。 3. 判断X和Y是否独立，需要比较`f(x,y)`与`f_x(x) * f_y(y)`。 五、二维正态分布 1. 求12XY的概率密度函数，对于两个独立的正态变量，它们的和也是一个正态分布，可以使用正态分布的加法性质计算。 2. 计算协方差`cov(Y,X)`，协方差是两个随机变量差的期望值。 六、参数估计 1. 使用最大似然估计方法，构建似然函数L(θ|x1, x2, ..., xn)，求解使似然函数最大的θ值。 七、假设检验 糖包重量服从正态分布，检验其总体期望值是否等于100kg。使用样本均值和样本方差，计算z统计量，判断是否落在拒绝域内，以决定是否拒绝原假设。