第十一次习题课总结1

本次习题课主要涵盖了线性代数中的二次型和矩阵理论相关知识点，下面将逐一进行详细解释。 1. **二次型**：一个只含有二次项的 n 元多项式，形式为 f(x1, x2, ..., xn) = a11x21 + 2a12x1x2 + ... + 2a1nx1xn + a22x22 + ... + annx2n，被称作 n 元二次齐次多项式，简称为 n 元二次型。这里的 aij 是常数，而 x1, x2, ..., xn 是变量。 2. **对称矩阵与二次型**：一个 n 阶对称矩阵 A 可以用来表示二次型 f(x) = x^TAx，其中 x 是一个列向量。二次型的秩定义为矩阵 A 的秩，记作 r(A)。 3. **线性变换**：线性变换 C: R^n → R^m 将 R^n 中的向量 v 映射到 R^m 中的向量 Cv。 4. **可逆线性变换与二次型**：若 C 是 n 阶可逆矩阵，那么 x = Cy 是可逆线性变换。二次型 f(x) 可以通过坐标变换 x = Cy 变换为 y^T C^T ACy，矩阵 B = C^T AC 称为原二次型的关联矩阵。 5. **合同矩阵**：两个 n 阶矩阵 A 和 B 如果存在可逆矩阵 C 使得 C^T AC = B，则称 A 与 B 合同，记作 A ≃ B。 6. **正交变换**：当线性变换 C 是正交矩阵时，x = Cy 称为正交变换。对于实对称矩阵 A，存在正交矩阵 Q 使得 Q^T AQ 是对角矩阵。 7. **二次型的标准型**：任何二次型都可以通过正交变换化为标准型 λ1y21 + λ2y22 + ... + λny2n，其中 λ1, λ2, ..., λn 是 A 的特征值。 8. **正交变换化二次型为标准型的过程**：包括写出矩阵 A，求特征值，求特征向量并正交化，构造正交矩阵 Q，最后通过坐标变换得到标准型。 9. **惯性定理**：每个实对称矩阵 A 都可以合同于一个对角矩阵，即存在非奇异矩阵 C 使得 C^T AC 是对角矩阵，这个对角矩阵称为 A 的标准形。 10. **规范形**：二次型可以通过非退化线性变换化为规范形，规范形唯一，并由正项个数（正惯性指标）和负项个数（副惯性指标）确定。 11. **有定性**：若 f(x) = x^TAx > 0（< 0），则 A 称为正定（负定）矩阵，对应的二次型也是正定（负定）的。 12. **半正定和半负定**：矩阵 A 为半正定或半负定，意味着它的特征值既有正也有零（或负）。 13. **合同矩阵的有定性**：如果 A 和 B 合同，那么它们具有相同的有定性，即如果 A 是正（负）定的，那么 B 也是。 14. **单位矩阵和负单位矩阵**：单位矩阵 I 是正定的，负单位矩阵 -I 是负定的。特定形式的矩阵，如 [I_p - I_q] 或 [I_p 0]，可能为半正定或半负定，或者不定。 15. **特征值与正定性**：实对称矩阵 A 的正定性、负定性、半正定性、半负定性和不定性与它的特征值完全对应。 16. **正定矩阵的等价描述**：正定矩阵的特征值全大于 0，其规范形为单位矩阵，存在可逆矩阵 C 使得 C^T AC = E，存在可逆矩阵 B 使得 B^T B = A。 17. **k 阶主子式和顺序主子式**：在矩阵 A 中，k 阶主子式是由 A 中任意 k 行和 k 列构成的子矩阵的行列式的值；顺序主子式是按行或列递增选取元素的 k 阶主子式。 18. **正定矩阵的判定**：实对称矩阵 A 为正定矩阵当且仅当其所有顺序主子式大于 0。 这些知识点构成了线性代数中关于二次型和矩阵理论的基础，对于理解和应用线性代数至关重要。