红黑树（一种带颜色的AVL）1

红黑树是一种自平衡二叉查找树，它的设计目的是为了在保持查找效率的同时，通过特定的颜色规则来确保树的平衡，从而减少最坏情况下的操作时间。红黑树的名称来源于其节点的颜色属性：红色或黑色。以下是红黑树的一些核心特性： 1. **每个节点非黑即红**：红黑树中的每个节点都必须是红色或者黑色，没有其他颜色。 2. **根节点是黑色的**：树的根节点必须是黑色，这有助于确保树的平衡。 3. **每个叶子节点（失败节点，即空节点）是黑色的**：这实际上是指叶节点被认为是黑色的，这样可以确保树的黑高度。 4. **红色节点的两个子节点都是黑色**：不允许出现连续的两个红色节点作为父子节点，以防止形成一条“红色链”，这会破坏树的平衡。 5. **从任一节点到其所有叶子节点的简单路径上，黑色节点的数量相同**：这个性质称为黑高度，它是红黑树的关键平衡属性，确保任何路径都不会比其他路径长太多。 在红黑树的插入操作中，我们通常遵循以下步骤： - **情况1**：如果新插入的节点成为新的根节点，由于根节点必须是黑色，所以我们会将其着色为黑色。 - **情况2**：如果插入的节点的父节点是黑色，那么插入不会破坏红黑树的性质，可以直接插入。 - **情况3**：如果插入的节点的父节点是红色，而叔节点（父节点的兄弟节点）也是红色，那么会违反性质4。此时需要通过旋转和重新着色来调整树，以恢复红黑树的性质。 对于情况3的处理，主要有四种旋转方式： - **RR（Right-Right）**：新插入节点的父节点和叔节点都是父节点的右孩子，此时执行左旋操作。 - **LL（Left-Left）**：新插入节点的父节点和叔节点都是父节点的左孩子，执行右旋操作。 - **RL（Right-Left）**：新插入节点是父节点的右孩子，但父节点是祖父节点的左孩子，先左旋父节点，再执行右旋操作。 - **LR（Left-Right）**：新插入节点是父节点的左孩子，但父节点是祖父节点的右孩子，先右旋父节点，再执行左旋操作。 通过这些旋转操作，我们可以保持红黑树的平衡，确保插入节点后仍然符合红黑树的五个性质。红黑树的插入操作虽然比普通二叉搜索树复杂，但正是这种复杂性保证了其在插入、删除和查找等操作上的高效性能。