第六章练习题答案2

DSA（Digital Signature Algorithm）是一种基于离散对数难题的数字签名算法，由美国国家标准与技术研究所（NIST）在1991年提出，被广泛应用于电子签名领域，确保数据的完整性和发送者的身份不可否认。它采用了公钥加密体系，结合了ElGamal加密算法和数字签名的概念。 **一、DSA密钥产生** 1. **参数选择**：选取大素数p，其长度由安全性需求决定；然后，选取小于p且与p互质的素数q，q通常比p小得多；再选取一个整数g，满足1 < g < p 且 g^q ≡ 1 (mod p)。这三个参数(p, q, g)构成了DSA的公共参数。 2. **私钥生成**：随机选取一个秘密整数x，满足1 < x < q，私钥为x。公钥是y = g^x (mod p)，满足1 < y < p。 **二、DSA签名算法** 1. **签名生成**：发送者收到消息m后，计算k，它是从[1, q-1]区间内随机选取的一个整数。然后计算r = g^k (mod p) 和 s = (k^(-1) * (H(m) + x * r)) mod q。这里，H(m)是消息m的哈希值，转换成模q的整数。签名是(r, s)。 2. **注意事项**：k必须为一次性使用的，每次签名时都要重新生成，否则签名的安全性将受损。 **三、DSA验证算法** 1. **验证过程**：接收者收到签名(r, s)和消息m，首先检查0 < r, s < q是否成立，如果不成立，则签名无效。接着计算w = s^(-1) mod q，然后计算u1 = H(m) * w mod q 和 u2 = r * w mod q。 2. **计算验证值**：v = (g^u1 * y^u2) mod p，如果v等于r，那么签名有效，否则签名无效。 **四、Schnorr签名算法** Schnorr签名是另一种基于离散对数的签名算法，其签名和验证过程相比DSA更简单。给定Schnorr签名的密钥产生和签名算法，验证方程可以是：c = g^k + m * x (mod p)，其中c是签名，k是随机数，x是秘密钥，m是消息。验证时，计算(c - m * y)^(-1) * (H(m) - c) mod p应等于k，其中y是公钥。 **五、DSA安全性分析** 如果在DSA签名中两次使用相同的会话密钥k，那么对于两个不同的消息m1和m2，会产生签名(s1, r1)和(s2, r2)。根据签名算法，有以下两组等式： 1. s1 * q = H(m1) + x * r1 2. s2 * q = H(m2) + x * r2 如果k相同，即r1 = r2 = r，那么可以将两个等式联立，消去s1和s2，解出k和x，从而破坏了签名的不可伪造性。 总结，DSA和Schnorr签名算法在确保数据安全和身份验证方面起着关键作用。理解并正确使用这些算法，以及了解它们的弱点，对于任何从事密码学或网络安全的专业人士来说都是至关重要的。