多元函数微分学是研究多个变量之间关系的数学分支，主要涉及偏导数、方向导数、梯度矢量、泰勒公式等概念。在实际应用中，它常常被用来解决涉及曲线、曲面的问题，比如求解切线方程、法线方程以及切平面和法线。
在第八章第六节“多元函数微分学的应用1”中，主要讨论了平面光滑曲线的切线和法线方程，以及如何通过曲线的一般方程或参数方程来求解这些几何特性。
1. 平面光滑曲线的切线与法线：
- 切线方程：如果已知曲线\( y = f(x) \)在点\( (x_0, y_0) \)的切线斜率为\( f'(x_0) \)，则切线方程可以表示为\( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \)。
- 法线方程：法线是与切线垂直的直线，其斜率为\( -\frac{1}{f'(x_0)} \)，所以法线方程为\( y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \)。
2. 参数方程下的曲线切线和法线：
- 当曲线用参数方程\( x = x(t), y = y(t) \)表示时，切线方向向量为\( \vec{T} = \left< x'(t), y'(t) \right> \)，法线向量为\( \vec{N} = \left< -y'(t), x'(t) \right> \)。
- 切线方程为\( \frac{x - x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y'(t_0)} \)，法线方程为\( \frac{x - x(t_0)}{-y'(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{x'(t_0)} \)。
3. 曲面的切平面与法线：
- 形如\( z = f(x, y) \)的曲面在点\( (x_0, y_0, z_0) \)的切平面方程可以通过偏导数计算得到，即\( \nabla f(x_0, y_0) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0 \)，其中\( \nabla f \)是梯度矢量。
- 法线向量是单位化切平面法向量，通常表示为\( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), -1 \)。
在学习这部分内容时，学生需要掌握如何根据曲线的方程或参数表达式来求解切线和法线，这对于理解和应用多元微积分至关重要。此外，解典型例题和同步练习可以帮助巩固理论知识，提高解决问题的能力。例如，可以求解曲线在特定点的切线斜率、法线方程，或者找出曲面上某点的切平面方程。这些练习能够训练学生灵活运用微分学知识解决实际问题。
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