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2010年复旦大学数学竞赛分析卷
学学学 校校校: 院院院 系系系:
姓姓姓 名名名: 学学学 号号号: 专专专 业业业:
题题题 目目目 1 2 3 4 5 6 7 总总总分分分
得得得 分分分
一一一 (12%)、、、 证明:
e
−2t
=
1
√
π
Z
+∞
0
e
−y−
t
2
y
dy
√
y
, ∀t > 0.
二二二 (13%)、、、 设 f 是 [−1, 1] 上的非负连续函数, 满足
Z
1
−1
xf(x) dx = 0,
Z
1
−1
f(x) dx = 1.
证明
Z
1
−1
Z
1
−1
|x + y|f (x)f (y) dxdy ≥
Z
1
−1
|x|f(x) dx.
三三三 (15%)、、、 定义
F (λ) =
Z
R
e
−λ(x
2
+1−cos x)
x
sh x
dx, λ > 0.
求 lim
λ→+∞
√
λ F (λ).
四四四 (15%)、、、 设 p > 1, f 在 (0, +∞) 连续且
Z
+∞
0
|f(t)|
p
dt 收敛. 证明:
n
Z
+∞
0
h
1
x
Z
x
0
|f(t)|dt
i
p
dx
o
1
p
≤
p
p − 1
³
Z
+∞
0
|f(t)|
p
dt
´
1
p
.
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