复旦数分竞赛试卷1

复旦大学2010年的数学竞赛分析卷涵盖了多个数学领域的知识点，主要涉及实分析、泛函分析和数列极限等内容。以下是对试卷各部分的详细解析： **第一题（12%）**： 题目要求证明公式：$e^{-2t} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} e^{-y^2 - ty} \sqrt{y} dy$ 对所有 $t > 0$ 成立。这涉及到积分与指数函数的性质，以及特殊函数如误差函数（erf）的知识。可以通过变量替换和积分性质来证明这个等式。 **第二题（13%）**： 本题要求证明对于在区间$[-1,1]$上非负连续的函数$f$，如果$\int_{-1}^{1}xf(x)dx = 0$且$\int_{-1}^{1}f(x)dx = 1$，则有$\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}|x+y|f(x)f(y)dxdy \geq \int_{-1}^{1}|x|f(x)dx$。这个不等式涉及到函数积分的性质，尤其是积分中的柯西不等式（Cauchy-Schwarz inequality）的应用。 **第三题（15%）**： 定义$F(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda(x^2+1-\cos x)}x\sinh(x)dx$，其中$\lambda > 0$。问题是要求$\lim_{\lambda \to +\infty}\sqrt{\lambda} F(\lambda)$。这是一个关于参数依赖的积分的极限问题，可能需要用到洛必达法则（L'Hôpital's rule）或者Stirling公式来处理。 **第四题（15%）**： 若$p > 1$，函数$f$在$(0, +\infty)$上连续，且$\int_{0}^{+\infty}|f(t)|^pdt$收敛。需要证明$\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{0}^{x}\frac{|f(t)|}{x^p}dt\right)^pdx \leq \frac{p-1}{p}\left(\int_{0}^{+\infty}|f(t)|^pdt\right)^{\frac{p}{p-1}}$。这题考察的是积分的不等式，比如Holder不等式（Holder's inequality）或Hardy-Littlewood-Pólya不等式。 **第五题（15%）**： 存在一个可数无穷序列$\{a_k^n\}$，满足$n\geq 1$时$a_k^n = 1$，且对于任意子集$A\subset N$，$\lim_{k\to +\infty}\sum_{n\in A}a_k^n$存在。定义$an = \lim_{k\to +\infty}a_k^n$，需要证明$\sum_{n\geq 1}an = 1$。这个问题涉及到数列极限的性质和无穷可加性。 **第六题（15%）**： 设$an > 0$且$\sum_{n\geq 1}an = 1$，要求证明集合$F = \{\sum_{n\in A}an : A\subset N\}$是闭集，其中$N$为正整数集。这题涉及到序列极限与闭集的概念，可能需要用到Bolzano-Weierstrass定理。 **第七题（15%）**： 函数$f$在$[0,1]$上右连续，其在有理数集$Q$上的左极限存在。要求证明对于所有$x\in(0,1]$，$f$在$x$处也有左极限。这个问题考察了函数连续性的推广，即在特定点集上的极限概念。 这些题目综合了实分析中的积分理论、极限理论、函数连续性等多个核心概念，对学生的分析能力和技巧有着较高的要求。