讨论课2_5239090351

【讨论课2_5239090351】是关于行列式和矩阵的课程，涵盖了多个矩阵性质和运算规则。以下是基于题目描述和部分内容解析的关键知识点： 1. **命题判断**： - (1) 矩阵乘法的结合律：正确，即\( (AB)C = A(BC) \)。 - (2) 矩阵乘积的零性质：正确，\( AB = AC \)意味着\( B = C \)，因为\( A \)可逆。 - (3) 方阵\( A \)满足\( 2A = I \)，则\( A = \frac{1}{2}I \)：正确，逆矩阵乘以自己等于单位矩阵。 - (4) 行列式为0的方阵是奇异的：正确，\( |A| = 0 \)意味着\( A \)不可逆。 - (5) 可逆矩阵经初等行变换化为\( B \)，则\( A^{-1}B = B^{-1}A \)：错误，应为\( A^{-1}B = BA^{-1} \)。 - (6) \( ABCI = I \)意味着\( BC = A^{-1} \)和\( BCA = I \)：正确。 - (7) \( kA = Ak \)对于任意常数\( k \)：正确，矩阵乘以标量是可交换的。 - (8) 可逆矩阵\( A \)满足\( A + AB = 0 \)，则\( B + I = 0 \)：正确，移项得到\( B = -I \)。 - (9) \( 2AA = A \)且\( A \neq 0 \)，则\( A = 0 \)：错误，如\( A = \frac{1}{2}I \)。 - (10) 初等行变换不改变行列式：正确。 2. **填空与选择**： - (1) \( IA + IA \)的值：\( 2I \)。 - (2) \( A \)是对称的，\( B \)是反对称的，\( BABA \)是反对称的。 - (3) \( IABC = I \)意味着\( B^{-1}AC = C^{-1}A \)。 - (4) 对矩阵\( A \)施行初等行变换得到\( B \)，\( A \neq 0 \)意味着\( B \neq 0 \)或\( B = 0 \)取决于变换。 - (5) 矩阵相抵意味着存在可逆矩阵\( P \)使得\( PA = PB \)，选(D)。 - (6) \( IA^T = IA \)，且\( A \)正交，则\( IA + IA^T = 2I \)。 - (7) 余子式和代数余子式的乘积关系：\( M_{ij}A_{ij} = (-1)^{i+j}A \)。 - (8) \( ||A|| = 1 \)意味着\( ||B|| = 1 \)，因为\( B = A + A^T \)。 - (9) \( A \)的每行元素之和为常数\( a \)，则\( 1-A \)的每行元素之和为\( a-1 \)。 - (10) \( IA^m = I \)，且利用行列式展开，得出\( B = A^{m-1} \)。 3. **矩阵方程**： - \( 2A + 3A - 4I = 0 \)意味着\( A = \frac{4}{5}I \)，因此\( A^{-1} = \frac{5}{4}A \)。 - \( 5A - 3I \)的逆矩阵为\( \frac{1}{2}I \)。 - \( A^m + IA \)可逆要求\( m \)使得\( A^m \neq -I \)。 4. **列矩阵与行矩阵的乘法**： - 计算\( C = [1, 1, 2]^T \)和\( D = [2, 0, 1] \)的乘积，以及\( D \cdot C \)。 - 观察乘积结果，总结列矩阵与行矩阵乘法规律。 5. **特定矩阵的计算**： - 计算\( A + J + J^2 + ... + J^n \)的和，其中\( A \)和\( J \)分别是给定的矩阵。 6. **伴随矩阵**： - 计算\( A^{-1} \)的伴随矩阵\( A^* \)，以及\( A^* \)的逆，以及\( A^* \)与特定标量的乘积。 这些内容覆盖了矩阵的性质、运算、解线性方程组、行列式、矩阵乘法和逆矩阵等多个方面，是线性代数的基础知识。