第六次作业——弹道
摘要
本次作业使用欧拉法解常微分方程组(炮弹的运动方程),计算二维平面的炮弹
轨迹,并考虑空气阻力以及空气密度随高度的变化。
背景介绍
当物体仅受重力作用时,其运动方程为
d^2x(t)/dt^2=0
d^2y(t)/dt^2=-g (1)
上面的 g 为引力场数,x,y 分别表示横、纵坐标。这个二阶微分方程组可以化为
由 4 个一阶常微分方程组成的方程组。
dx(t)/dt=v_x(t)
dv_x(t)/dt=0
dy(t)/dt=v_y(t)
dv_y(t)/dt=-g (2)
v_x 和 v_y 分别是 x,y 方向的速度。当我们考虑其他外力时,上式可以写为
dx(t)/dt=v_x(t)
dv_x(t)/dt=-F_x
dy(t)/dt=v_y(t)
dv_y(t)/dt=-g-F_y (3)
现在,我们将空气阻力 F_drag 纳入考虑范围。可以近似地认为,这个力与物体
运动速度的平方成正比,
F_drag = -Bv^2 (4)
这里的 B 是阻力系数,v 是炮弹的速率。除此以外,空气密度与炮弹所在的高度
有关
rho=rho_0 exp(-y/y_0) (5)
其中 rho_0 为海平面的空气密度,特征高度 y_0=(k_BT)/(mg),k_B 是玻尔兹曼
常数。
正文
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