1999考研数三试题及解析1

【填空题】 1. 对于微积分问题（1），题目要求找到函数 \( f(x) \) 的一个原函数是 \( \sin x \)，求 \( \int_{-\pi}^{\pi} 2xf_x dx \) 的值。解答过程中，利用原函数性质和积分的性质，可以得出 \( (2\sin x - x\cos x)|_{-\pi}^{\pi} = 4\pi - 0 \)，故答案为 \( 4\pi \)。 2. 题目（2）考察的是幂级数的知识。已知 \( S_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} \)，要求计算 \( \lim_{n \to \infty} S_n \)。由于 \( S_n \) 是调和级数 \( H_n \) 的前 \( n \) 项和，我们知道 \( H_n \) 收敛于 \( \ln(n) + \gamma \)（欧拉常数），所以当 \( n \) 趋向于无穷大时，\( S_n \) 趋近于 \( \ln(n) + \gamma \)，而 \( \gamma \approx 0.577 \)。因此，答案是 \( \ln(n) \)。 3. 题目（3）涉及矩阵运算。给定矩阵 \( A \) 为反对称矩阵，即 \( A^T = -A \)，题目要求计算 \( A^n \) 当 \( n \) 为偶数时的结果。对于反对称矩阵，其平方等于零矩阵，即 \( A^2 = 0 \)。因此，当 \( n \) 为偶数时，\( A^n = (A^2)^{\frac{n}{2}} = 0 \)，答案是 \( O \)（零矩阵）。 4. 题目（4）与统计学中的正态分布有关。在天平上称量物品，每次称量结果独立且服从均值为 \( a \)，标准差为 \( 0.2 \) 的正态分布。设 \( X \) 为 \( n \) 次称量的算术平均值，要求找到最小的 \( n \) 使得 \( P(X > a - 0.1) \geq 0.95 \)。根据正态分布的性质，\( X \) 也服从正态分布 \( N(a, \frac{0.2^2}{n}) \)，要满足条件，需有 \( 1.96 \cdot \frac{0.2}{\sqrt{n}} \leq a - (a - 0.1) \)，解得 \( n \geq 16 \)，因此答案是 \( 16 \)。 5. 题目（5）涉及随机变量的期望值。给定一组独立同分布的随机变量 \( X_1, X_2, ..., X_n \)，它们的期望值 \( E(X_i) = 2 \)，求矩阵 \( Y \) 的期望值，其中 \( Y \) 是这些随机变量构成的行列式的值。由于随机变量独立同分布，行列式的期望值可以通过将每个 \( E(X_i) \) 替换为相应的常数来计算，得到 \( E(Y) = 0 \)。 【选择题】 1. 选择题（1）考察函数的性质。当函数 \( f(x) \) 是奇函数时，其原函数 \( F(x) \) 必为偶函数。这是因为如果 \( f(-x) = -f(x) \)，那么 \( \int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{-a}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{a} f(x)dx = -\int_{0}^{-a} f(x)dx + \int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(x)dx + \int_{0}^{a} f(x)dx \)，即 \( F(a) - F(-a) = 2F(a) \)，表明 \( F(-x) = F(x) \)。所以答案是 (A)。 2. 选择题（2）未给出具体选项，但从题目描述来看，应该是要求判断函数 \( f(x,y) \) 是否为奇函数、偶函数、周期函数或者单调函数。由于题目不完整，无法提供具体答案。 以上是对1999年考研数三试题的详细解析，涵盖了微积分、概率统计和线性代数等多个数学知识点。这些问题涉及到原函数的性质、级数的极限、矩阵运算、正态分布以及随机变量的期望值等概念。解答过程中，我们利用了这些数学原理和计算方法，展示了对相关知识的深入理解和应用。