第四次作业——研究指数衰变1
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2022-08-08
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第四次作业——研究指数衰变
摘要
本次作业以放射性衰变为背景，使用欧拉法解常微分方程，并与解析结果进行比
较。
背景介绍
形如
dN(t)/dt=-aN(t)
的微分方程可以描述指数衰变过程。由于这种常微分方程形式简单且存在解析解，
我们可以对比数值解（即欧拉方法得到的解）与解析解，从而检验欧拉法的可靠
性。
正文
1. 欧拉法解常微分方程
作为一种近似方法，欧拉法假设在微小时间间隔 dt 内（这里我们将 t 看做时间），
N 为常量，不随时间变化。那么，上式可以近似为
N(t+dt)-N(t)~=-aN(t)dt
N(t+dt)~=N(t)-aN(t)dt
如果 N—t 图像是一条曲线的话，欧拉法可以理解为在曲线上每隔一小段距离取
一点，做一条短线段，用一个“阶梯状”的图形来近似原来的曲线。
2. 具体应用——放射元素的衰变
dN(t)/dt=-N(t)/tau
其中，N 表示核子个数，tau 是元素的衰变时间常数，表示风射性元素衰变到原
来含量的的 1/e 所需要的时间。我们使用欧拉法解此方程：
N(t+dt)~=N(t)-(N(t)dt)/tau
我们将 tau 设为 1，令 N(t=0)=2000，将时间间隔设为 0.01s。得到的结果为
除此以外，我还两类核子的相互衰变（或者说相互转化）问题，这个问题由方程
dN_A(t)/dt=N_B(t)/tau-N_A(t)/tau
dN_B(t)/dt=N_A(t)/tau-N_B(t)/tau
描述，角标 A，B 分别表示 A 类 B 类核子。使用欧拉法得到的结果为
结论
研究指数衰变问题时，欧拉法很一个可靠的解微分方程的数值方法。
两斤香菜
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